Метод. Усечения для устранения особенностей у интегралов

Иногда возникает необходимость численно (иначе никак) вычислить несобественный интеграл 1 рода. Методы численного интегрирования здесь неприменимы в силу постановки задачи, с требованием отрезка интегрирования. В таком случае берется такой отрезок интегрирования, чтобы вычисленный интеграл отличался от реального несобственного с заранее заданной погрешностью $\epsilon >0$

Пример

Условие

Вычислить

$${\int }_0^{+\infty }\frac{1}{1+x^3}\arctan (x)dx$$

с точностью $\epsilon >0$

Решение

Усечение

Используем аддитивность интеграла:

$${\int }_0^{\infty }\frac{\arctan x}{1+x^3}dx={\int }_0^A\frac{\arctan x}{1+x^3}dx+{\int }_A^{\infty }\frac{\arctan x}{1+x^3}dx.$$

Выбираем $A>0$ такое, что:

$$\left|{\int }_A^{\infty }\frac{\arctan x}{1+x^3}dx\right|\le {\epsilon }_1,$$

а интеграл на конечном интервале вычисляем приближенно (он без особенностей):

$${\int }_0^A\frac{\arctan x}{1+x^3}dx$$

Общая погрешность вычислений:

$$\epsilon ={\epsilon }_1+{\epsilon }_2,$$

где:

• ${\epsilon }_1>0$ - погрешность метода усечения,
• ${\epsilon }_2>0$ - погрешность вычисления интеграла ${\int }_0^A\frac{\arctan x}{1+x^3}dx$.

Поиск места усечения

Как выбрать $A$

Поскольку для любой константы $A>0$ справедливо:

$$0<\arctan (x)<\frac{\pi }{2}\forall x\in [A,\infty )$$

то

$$|{\int }_A^{\infty }\frac{\arctan (x)}{1+x^3}dx|={\int }_A^{\infty }\frac{\arctan (x)}{1+x^3}dx\le \frac{\pi }{2}{\int }_A^{\infty }\frac{1}{1+x^3}dx.$$

Поскольку

$$\frac{1}{1+x^3}\le \frac{1}{x^3}\text{при }x\ge A>0,$$

то

$${\int }_A^{\infty }\frac{1}{1+x^3}dx\le {\int }_A^{\infty }\frac{1}{x^3}dx={\left[-\frac{1}{2x^2}\right]}_A^{\infty }=\frac{1}{2A^2}.$$

Следовательно,

$${\int }_A^{\infty }\frac{\arctan (x)}{1+x^3}dx\le \frac{\pi }{2}\cdot \frac{1}{2A^2}=\frac{\pi }{4A^2}.$$

Чтобы эта величина была не больше ${\epsilon }_1$ необходимо:

$$\frac{\pi }{4A^2}\le {\epsilon }_1\Rightarrow A\ge \sqrt{\frac{\pi }{4{\epsilon }_1}}.$$

То есть $A$ выбираем такое, что:

$$A\ge \sqrt{\frac{\pi }{4{\epsilon }_1}}$$