Практика. Вывод формулы Симпсона

Условие

• Функция $f$, заданная на $[a,b]$ (интегрируемая?)

Требуется

Построить интерполяционную квадратурную формулу для этой функции в квадратурной сумме которой в качестве квадратурных узлов используются $x_0=a,x_1=\frac{a+b}{2},x_2=b$

Решение

По определению искомая квадратурная сумма для $f$ должна иметь вид:

$$S_2[f]=A_{0}f(a)+A_{1}f(\frac{a+b}{2})+A_{2}f(b)$$

Чтобы сумма была интерполяционной по критерию необходимо, чтобы она была точна для любого многочлена степени 2 и ниже. В частности она должна быть точна, например, для многочленов $Q_0\equiv 1,Q_1=x-a,Q_2=(x-a{)}^2$

Подставив их в искомую формулу, получим систему линейных алгебраических уравнений относительно $A_0,A_1,A_2$:

$$\{\begin{array}{l}{A}_0+A_1+A_2=b-a,\\ \frac{b-a}{2}{A}_1+(b-a)A_2=\frac{(b-a{)}^2}{2},\\ {\left(\frac{b-a}{2}\right)}^2{A}_1+(b-a{)}^2{A}_2=\frac{(b-a{)}^3}{3}.\end{array}$$

Решением системы является $A_0=\frac{b-a}{6},A_1=\frac{4(b-a)}{6},A_2=\frac{b-a}{6}$

Поскольку взятые многочлены $Q_0,Q_1,Q_2$ образуют базис в пространстве многочленов степени не выше второй, а определенный интеграл и квадратурная сумма обладают свойствами линейности и однородности:

$$\forall \alpha ,\beta \in \mathbb{R}\forall f,g\in {\mathbb{P}}_2:I[\alpha f+\beta g]=\alpha I[f]+\beta I[g]$$ $$\forall \alpha ,\beta \in \mathbb{R}\forall f,g\in {\mathbb{P}}_2:S_2[\alpha f+\beta g]=\alpha S_2[f]+\beta S_2[g].$$

Найденная квадратурная формула с найденными коэффициентами точна для любого многочлена 2 степени и ниже. Следовательно, в силу критерия найденная формула является интерполяционной. Подстановка в формулу многочлена степени 4 покажет неточность формулы. Следовательно алгебраическая степень точности найденной формулы равна 3

Эта формула называется формулой Симпсона