Теорема. Метод Эйлера с пересчетом имеет 2 порядок точности на всей области решения задачи Коши

Метод Эйлера с пересчетом обладает 2 порядком точности на всей области решения задачи Коши

Доказательство

Покажем, что метод обладает 3 порядком точности итерационного метода на одном шаге

Процедура метода выглядит следующим образом:

1. ${\bar{y}}_{k+1}=y_k+hf(x_k,y_k)$ - нашли “промежуточное” решение явным методом Эйлера (1)
2. $y_{k+1}=y_k+\frac{h}{2}\left[f(x_k,y_k)+f(x_{k+1},{\bar{y}}_{k+1})\right]$ “пересчитали”, подставив в формулу (2)

$k=0,1,2,\dots ,n-1$

Для определения порядка погрешности метода на одном шаге используется следующее разложение функции $y(x{|}_{x_0,y_0})$ в ряд Тейлора в окрестности узла $x_0$:

$$y(x_1)=y(x_0)+f(x_0,y(x_0))h+\frac{h^2}{2}{f}_x^{\prime }(x_0,y(x_0))+f_y^{\prime }(x_0,y(x_0))f(x_0,y(x_0))+O(h^3)\text{\hspace{1em}(1)}$$

В силу (1) справедливо

$$y_1\stackrel{[1]}{=}{y}_0+\frac{h}{2}[f(x_0,y_0)+f(x_1,{\bar{y}}_1)]\stackrel{[2]}{=}{y}_0+\frac{h}{2}[f(x_0,y_0)+f(x_0+h,y_0+hf(x_0,y_0))]\stackrel{[3]}{=}$$ $$=y_0+\frac{h}{2}f(x_0,y_0)+\frac{h}{2}[f(x_0,y_0)+f_x^{\prime }(x_0,y_0)h+f_y^{\prime }(x_0,y_0)hf(x_0,y_0)+\tilde{O}(h^2)]\stackrel{[4]}{=}$$ $$=y_0+hf(x_0,y_0)+\frac{h^2}{2}[f_x^{\prime }(x_0,y_0)+f_y^{\prime }(x_0,y_0)f(x_0,y_0)]+\tilde{O}(h^3)\text{\hspace{1em}(2)}$$

[1] - расписали по процедуре, пункт (2)

[2] - подставили вместо ${\bar{y}}_1$ выражение из процедуры, пункт (1)

[3] - разложили функции $f$ в ряд Тейлора по переменным $x$ и $y$ около точки $(x_0,y_0)$ и подставили в разложение точку, рассмативаемую ранее $(x_0+h,y_0+hf(x_0,y_0))$

[4] - привели подобные, свойство $O$-больших

Рассмотрим разность выражений $(1)$ и $(2)$ Получим, с учетом того, что по условию $y_0=y(x_0)$:

$$y(x_1)-y_1=O(h^3)-\tilde{O}(h^3)=\hat{O}(h^3)$$

Из равенства следует, что погрешность метода на одном шаге является величиной $O(h^3)$ → Метод имеет 3 порядок точности на одном шаге.

В силу замечания метод имеет 2 порядок точности на всей области решения $[x_0,x_0+X]$