Теорема. Нахождение решения задачи для явных методов семейства Рунге-Кутта

Для решения задачи на поиск параметров $p_1,p_2,\alpha ,\beta \in \mathbb{R}$ разложим, как здесь, в ряд Тейлора в окрестности узла $x_0$ решение задачи Коши:

$$y(x_0+h)=y(x_0)+f(x_0,y(x_0))h+\frac{h^2}{2}[f_x^{\prime }(x_0,y(x_0))+f_y^{\prime }(x_0,y(x_0))f(x_0,y(x_0))]+O(h^3)\text{\hspace{1em}(1)}$$

В силу определения cемейства явных методов Рунге-Кутта, также спаведливо равенство (“заинлайнили” $K_1$, $K_2$)

$$y_1=y_0+p_{1}hf(x_0,y_0)+p_{2}hf(x_0+\alpha h,y_0+\beta hf(x_0,y_0))\text{\hspace{1em}(2)}$$

Требуемое разложение функции $f(x,y)$ в ряд Тейлора (до 2 члена) в окрестности точки $(x_0,y_0)$ имеет вид (подставили в разложение точку $(x_0+\alpha h,y_0+\beta hf(x_0,y_0)$):

$$f(x_0+\alpha h,y_0+\beta hf(x_0,y_0))=f(x_0,y_0)+f_x^{\prime }(x_0,y_0)\alpha h+f_y^{\prime }(x_0,y_0)\beta hf(x_0,y_0)+O(h^2)\text{\hspace{1em}(3)}$$

Подставим $(3)$ в $(2)$. Получим:

$$y_1=y_0+p_{1}hf(x_0,y_0)+p_{2}h\left[f(x_0,y_0)+f_x^{\prime }(x_0,y_0)\alpha h+f_y^{\prime }(x_0,y_0)f(x_0,y_0)\beta h+O(h^2)\right]\stackrel{[1]}{=}$$ $$=y_0+(p_1+p_2)hf(x_0,y_0)+p_2\alpha h^2{f}_x^{\prime }(x_0,y_0)+p_2\beta h^2{f}_y^{\prime }(x_0,y_0)f(x_0,y_0)+O(h^3)\text{\hspace{1em}(4)}$$

[1] - привели подобные, воспользовались свойством $O$-больших

Вычтем из $(1)$ $(4)$, с учетом того, что $y(x_0)=y_0$ (по условию), $y(x_1)\stackrel{def}{=}y(x_0+h)$ Получим:

$$y(x_1)-y_1=(1-p_1-p_2)hf(x_0,y_0)+\left(\frac{1}{2}-p_2\alpha \right)h^2{f}_x^{\prime }(x_0,y_0)+\left(\frac{1}{2}-p_2\beta \right)h^2{f}_y^{\prime }(x_0,y_0)f(x_0,y_0)+O(h^3)$$

Чтобы $y(x_1)-y_1$ стало $O(h^3)$ необходимо “занулить” остальные слагаемые, используя искомые параметры. Получим систему:

$$\{\begin{array}{l}{p}_1+p_2=1\\ p_2\alpha =\frac{1}{2}\\ p_2\beta =\frac{1}{2}\end{array}$$

Очевидно, что система совместна и имеет однопараметрическое семество решений:

$$\text{Пусть }\alpha =\beta \ne 0,\text{ тогда:}$$ $$p_2=\frac{1}{2\alpha },p_1=1-\frac{1}{2\alpha },\beta =\alpha .$$