Метод. Мультипликативный метод устранения особенностей у интегралов

Рассматриваются интегралы, подынтегральные функции которых можно предствавить в виде:

$${\int }_a^{b}p(x)f(x)dx$$

• f - функция без особенностей
• p
  • функция с особенностями на $[a,b]$
  • у $p$ на $[a,b]$ существует аналитическая обратимая первообразная $s$

s можно записать в виде (матанализ):

$$s(x)={\int }_a^{x}p(t)dt,x\in [a,b]$$

Обратная для $s$ функция $r$ записывается таким образом:

$$r=s^{-1}:x=r(s),s\in [s(a),s(b)]$$

В таком случае исходный интеграл с особенностями равен интегралу (уже без особенностей) вида:

$${\int }_a^{b}p(x)f(x)dx={\int }_{s(a)}^{s(b)}f(r(s))ds$$

Пример

Рассмотрим интеграл:

$${\int }_{-1}^1\frac{1}{\sqrt{1-x^4}}dx$$

Преобразуем подынтегральное выражение:

$${\int }_{-1}^1\frac{1}{\sqrt{1-x^4}}dx={\int }_{-1}^1\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}\cdot \frac{1}{\sqrt{1+x^2}}dx$$

Определим функции $f$ и $p$:

$$f(x)=\frac{1}{\sqrt{1+x^2}},p(x)=\frac{1}{\sqrt{1-x^2}},x\in [-1,1]$$

$p$ не определена в 1 (разрыв 2 рода). Это особенность

Вычислим замену переменной:

$$s(x)={\int }_0^{x}p(t)dt={\int }_0^x\frac{dt}{\sqrt{1-t^2}}=\arcsin (x),x\in [-1,1]$$

Сделаем замену $s=\arcsin (x)$:

$$x=\sin (s),ds=s^{\prime }(x)dx=\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}dx$$

Применяя замену, получаем:

$${\int }_{-1}^1\frac{1}{\sqrt{1-x^4}}dx={\int }_{-\frac{\pi }{2}}^{\frac{\pi }{2}}\frac{1}{\sqrt{1+{\sin }^2(s)}}ds$$

Полученный интеграл не содержит особенностей