Теорема. Невязка и погрешность k-шагового разностного метода на одном шаге - величины одного порядка по длине шага h

невязка $z_m$ и локальная погрешность $r_m$ на одном шаге k-шагового разностного метода - величины одного порядка точности по размеру шага $h$

Доказательство

Если рассматривается явный метод, то есть параметр ${\beta }_0=0$, то $z_m=r_m$ (в невязку всегда перадаются точные значения задачи Коши, в локальную погрешность, раз метод явный по определению локальной погрешности тоже)

Если рассматривается Неявный k-шаговый разностный метод, то есть ${\beta }_0\ne 0$, то

Из определения невязки выразим точное значения решения в $x_m$, достав первое слагаемое из суммы с ${\beta }_0$:

$$y(x_m)=z_m+\sum _{i=1}^k{\alpha }_{i}y(x_{m-i})+h{\beta }_{0}f(x_m,y(x_m))+h\sum _{j=1}^k{\beta }_{j}f(x_{m-j},y(x_{m-j}))\text{\hspace{1em}(1)}$$

Распишем формулу рассматриваемого метода для $y_m$, достав из второй суммы первое слагаемое с ${\beta }_0$:

$$y_m=\sum _{i=1}^k{\alpha }_{i}y(x_{m-i})+h{\beta }_{0}f(x_m,y_m)+h\sum _{j=1}^k{\beta }_{j}f(x_{m-j},y(x_{m-j}))\text{\hspace{1em}(2)}$$

Под суммами стоят точные значения решения в узлах по условию (определения локальной погрешности и невязки формулируются в контексте точных значений)

В формулу локальной погрешности:

$$r_m=y(x_m)-y_m$$

Вместо $y(x_m)$ подставим $(1)$, вместо $y_m$ подставим $(2)$. Получим, после сокращения одинаковых сумм и приведения подобных

$$r_m=z_m+h{\beta }_0\left(f(x_m,y(x_m))-f(x_m,y_m)\right)\stackrel{[1]}{=}{z}_m+h{\beta }_0{f}_y^{\prime }(x_m,{\xi }_m)(y(x_m)-y_m)z_m+h{\beta }_0{f}_y^{\prime }(x_m,{\xi }_m)r_m$$

${\xi }_m\in [y_m,y(x_m)]$

[1] - Применили теорему лагранжа (первый аргумент $f$ зафиксирован, здесь рассмотреть $f$ как функцию одной переменной). Теорему можем применить в силу требований к f

Приведем подобные, получим соотношение:

$$z_m=\left(1-h{\beta }_0{f}_y^{\prime }(x_m,{\xi }_m)\right)r_m$$

Так как

• $0\le h\le X$
• $\exists D\ge 0:|f_y^{\prime }(x,y)|\le D$

Получаем требуемое

$$\exists 0<C_1\le C_2:C_1|r_m|\le |z_m|\le C_2|r_m|$$