Чисмет. Лаба 1

Задание 1

Вариант 3 ($A=3$)

Постановка

Для функции $f(x)=\sqrt{1+3cos(x)}$ вычислить приближенное значение интеграла на отрезке $[a,b]=[0,1]$ используя известные составные квадратурные формулы:

1. Средних прямоугольников
2. Трапеций
3. Симпсона
4. Ньютона-Котеса с шагом $h=0.1$
5. Ньютона-Котеса с шагом $h=0.05$ Оценить погрешность каждой из формул

1 Формула средних прямоугольников

Вычисление

Формула строится по одному узлу $x_0=\frac{a+b}{2}=\frac{0+1}{2}=0.5\in [0,1]$, имеет вид:

$$S_0[f]=(b-a)f(x_0)$$

Полагаем, что $f(x_0)=1.9059768$

Подставляя значения, получаем приближенное значение искомого интеграла:

$$I[f]\approx S_0[f]=1\cdot 1.9059768=1.9059768$$

Погрешность

По построению формулы, погрешность имеет вид:

$$R_0[f]={\int }_a^b{R}_0(x)dx={\int }_a^{b}f(x,x_0){\omega }_0(x)dx={\int }_a^b{f}^{\prime }(\xi (x)){\omega }_0(x)dx$$

где $\xi (x)\in [a,b]$

Оценим модуль $R_0[f]$. Производную в точке заменим максимумом производной на $[a,b]$ (полагаем, что $f\in C^1([a,b])$) и вынесем за знак интеграла. Проинтегрировав ${\omega }_0$ от $a$ до $b$ и упростив, получим оценку:

$$|R_0[f]|\le \frac{M_1}{4}(b-a{)}^2$$

где $M_1={\max }_{x\in [a,b]}|f^{\prime }(x)|$

---

Производная рассматриваемой функции

$$f^{\prime }(x)=-\frac{3sin(x)}{2\sqrt{1+3cos(x)}}$$

на $[0,1]$ монотонно убывает и принимает неположительные значения, значит достигает своего максимального абсолютного значения в $1$.

Полагаем ${\max }_{x\in [a,b]}|f^{\prime }(x)|=|f^{\prime }(1)|=0.779659$ = $M_1$

Тогда оценка погрешности составит:

$$|R_0[f]|\le \frac{0.779659}{4}(1-0{)}^2=0.194914$$

summary

Формула	Приближенное начение ${\int }_a^{b}f(x)dx$	Погрешность формулы
средних прямоугольников	1.9059768	0.194914

2 формула трапеций

Вычисление

Формула строится по двум узлам $x_0=a=0,x_1=b=1$, $x_0,x_1\in [0,1]$, имеет вид:

$$S_1[f]=\frac{b-a}{2}f(a)+\frac{b-a}{2}f(b)=\frac{b-a}{2}(f(a)+f(b))$$

$f(a)=2$. Полагаем, $f(b)=1.61892$

Подставляя значения, получаем приближенное значение искомого интеграла:

$$I[f]\approx S_0[f]=\frac{1-0}{2}(2+1.61892)=1.80946$$

Погрешность

По построению формулы, погрешность имеет вид:

$$R_1[f]={\int }_a^b{R}_1(x)dx={\int }_a^{b}f(x,a,b){\omega }_1(x)dx={\int }_a^{b}f(x,a,b)(x-a)(x-b)dx$$

Положим $f\in C^2([a,b])$. Оценим модуль $R_1[f].Заменимразделеннуюразностьотношениемвторойеепроизводнойкфакториалу.Оценимсверхувторуюпроизводнуювточкеиз$[a,b]$максимумомвторойпроизводнойна$[a,b]$.Вынесемконстанты.Проинтегрируемоставщуюсяподинтегралом$w_1 = (x-a)(x-b)$. Упростим. Получим оценку:

$$|R_1[f]|\le \frac{M_2}{12}(b-a{)}^3$$

где $M_2=ma{x}_{x\in [a,b]}|f^{\prime \prime }(x)|$

---

Вторая производная рассматриваемой функции

$$f^{\prime \prime }(x)=-\frac{6cos(x)+9(1+co{s}^2(x))}{\sqrt{1+3cos(x)}(4+12cos(x))}$$

не возрастает на $[0,1]$, принимает отрицательные значения. Значит достигает своего абсолютного максимума в точке $1$.

Полагаем ${\max }_{x\in [a,b]}|f^{\prime \prime }(x)|=|f^{\prime \prime }(1)|=0.87609=M_2$

Тогда оценка погрешности составит:

$$|R_1[f]|\le \frac{M_2}{12}(b-a{)}^3=\frac{0.87609}{12}\approx 0.073$$

summary

Формула	Приближенное начение ${\int }_a^{b}f(x)dx$	Погрешность формулы
средних прямоугольников	1.9059768	0.194914
трапеций	1.80946	0.073

3 формула Симпсона

Вычисление

Формула строится по трем узлам $x_0=a=0,x_1=\frac{a+b}{2}=0.5,x_2=b=1$, $x_0,x_1,x_2\in [0,1]$, имеет вид:

$$S_2[f]=\frac{b-a}{6}(f(a)+4f(\frac{a+b}{2})+f(b))$$

Значение функции в узлах были выписаны выше. Подставим в формулу. Получим приближенное значение интеграла:

$$I[f]=S_2[f]=\frac{1}{6}(2+4\cdot 1.9059768+1.61892)\approx 1.8738$$

Погрешность

4 формула Ньютона-Котеса с шагом $h=0.1$

5 формула Ньютона-Котеса с шагом $h=0.05$

Задание 2

Постановка

desmos