Метод. Аддитивный метод устранения особенностей у интегралов

Пусть для приближённого вычисления интеграла

$$I={\int }_a^{b}f(x)dx$$

$f^{(k)}$ не ограничены на $[a,b]$ для все $k\ge K\in \mathbb{N}\cup \{0\}$

Особенность

Пусть для приближенного значения интеграла требуется использовать метод, для оценки погрешности которого необходима ограниченность производной $K$-го порядка у подынтегральной функции (пример, пример). Функция $f$ таким свойством не обладает. Это особенность.

Метод

Представим $f$ как сумму:

$$f=\varphi +\psi$$

• $\psi$ без особенностей
• $\varphi$ с особенностями, но ${\int }_a^b\varphi (x)dx$ вычисляется аналитически

Пример устранения особенности

$$f(x)=(x-c{)}^{\alpha }g(x)$$

• $c\in [a,b]$
• $-1<\alpha <K$
• $g$ непрерывно дифференцируема на $[a,b]$ достаточное число раз

Разложение функции $g$ в окрестности точки $c$:

$$g(x)=g(c)+g^{\prime }(c)(x-c)+\cdots +\frac{g^{(K)}(c)}{K!}(x-c{)}^K+\left(g(x)-\sum _{k=0}^K\frac{g^{(k)}(c)}{k!}(x-c{)}^k\right)$$

Представление $f(x)$:

$$f(x)=(x-c{)}^{\alpha }\left(\sum _{k=0}^K\frac{g^{(k)}(c)}{k!}(x-c{)}^k\right)+(x-c{)}^{\alpha }\left(g(x)-\sum _{k=0}^K\frac{g^{(k)}(c)}{k!}(x-c{)}^k\right)=\phi (x)+\psi (x)$$

• $\phi (x)=(x-c{)}^{\alpha }\left(g(c)+g^{\prime }(c)(x-c)+\cdots +\frac{g^{(K)}(c)}{K!}(x-c{)}^K\right)$
• $\psi (x)=(x-c{)}^{\alpha }\left(g(x)-{\sum }_{k=0}^K\frac{g^{(k)}(c)}{k!}(x-c{)}^k\right)$

Функцию $\psi$ можно представить как:

$$\psi (x)=(x-c{)}^{\alpha }\cdot g(x,\underset{K+1}{\underbrace{c,c,\dots ,c}})\cdot (x-c{)}^{K+1}=(x-c{)}^{\alpha +K+1}\cdot g(x,c,\dots ,c)$$

$\psi \in C^{(K)}([a,b])$

В результате особенность сдвинута в производную $(K+1)$-го порядка.

Приближённое вычисление интеграла:

$$I[f]\approx I[\phi ]+S_n[\psi ]$$

где функция $\psi$ имеет ограниченную на $[a,b]$ производную $K$-го порядка