Оценка погрешности интерполяционной квадратурной формулы

Если решаем задачу численного интегрирования с использованием идеи разложения функции $f$ в многочлен Лагранжа по известному набору из $n$ узлов разбиения, то получаем погрешность вычисления интеграла в виде:

$$R_n[f]={\int }_a^{b}f(x,x_0,x_1,\dots ,x_n)w_n(x)dx$$

Положим, что рассматриваемая функция принадлежит к классу $n+1$ раз непрерывно-дифференцируемых на отрезке $[a,b]$ функций: $f\in C^{n+1}([a,b])$. Тогда можем оценить сверху $|R_n[f]|$:

$$|R_n[f]|\stackrel{(1)}{\le }{\int }_a^b|R_n(x)|dx\stackrel{(2)}{=}{\int }_a^b|f(x,x_0,x_1,\dots ,x_n)|{\omega }_n(x)dx\stackrel{(3)}{=}{\int }_a^b\left|\frac{f^{(n+1)}(\xi (x))}{(n+1)!}\right|{\omega }_n(x)dx\stackrel{(4)}{\le }\frac{M_{n+1}}{(n+1)!}{\int }_a^b{\omega }_n(x)dx,$$

• 2 - определение $R_n$
• 3 - свойство разделенных разностей