Поиск решения линейного однородного разностного уравнения по характеристическому уравнению

1. Составили по ЛОРУkПсПК его характеристическое уравнение
2. Решили характеристическое уравнение, получили его $n\le k$ штук корней $p_i\in \mathbb{C},i=1,\dots ,n$
3. Для каждого корня $p_i,i=1,\dots n$:

Корень простой

Если $p_i$ - простой, то решением исходного уравнения является последовательность

$$\{1,p,p^2,\dots ,p^m,\dots \}$$

Кратный корень

Если $p_i$ имеет кратность $l>1$, то ему соответвует $l$ линейно-независимых решений исходного уравнения, образующих фундаментальную систему решений

$y^{(1)}=\{1,\rho ,{\rho }^2,\dots ,{\rho }^m,\dots \}$

$y^{(2)}=\{1,1\rho ,2{\rho }^2,\dots ,m{\rho }^m,\dots \}$

$\dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots$

$y^{(l)}=\{1,1^{l-1}\rho ,2^{l-1}{\rho }^2,\dots ,m^{l-1}{\rho }^m,\dots \}$

4. В качестве общего решения уравнения записываем линейную комбинацию найденных решений

Заметим, что каждое найденное решение ограничено, когда $|p_i|<1,i=1,\dots ,n$ (в случае простого корня достаточно нестрогого знака)