Поиск фундаментальной системы решений линейного однородного уравнения k-го порядка с постоянными коэффициентами

Из свойства следует, что нужно найти Фундаментальную систему линейно-незавиисимых решений для нахождения общего решения ЛОРУkПсПК

Для нахождения фундаментальной системы решений уравнения предлагается искать его линейно-независимые решения в виде $y_s={\rho }^s$ (взяли вид решения из воздуха?)

Подстановка $y_m={\rho }^m$ в уравнение приводит к уравнению вида:

$${\rho }^m+a_1{\rho }^{m-1}+a_2{\rho }^{m-2}+\cdots +a_k{\rho }^{m-k}=0,$$

После сокращения на ${\rho }^{m-k}$, получаем алгебраическое уравнение, называемое характеристическим для рассматриваемого ЛОРУkПсПК

$${\rho }^k+a_1{\rho }^{k-1}+a_2{\rho }^{k-2}+\cdots +a_{k-1}\rho +a_k=0$$

by the way. Уравнение является многочленом