Постановка задачи для явных методов семейства Рунге-Кутта

Вводная

Методы Эйлера с пересчетом и Коши объединяет схожая 2-х шаговая процедура при рассчете очередного приближенного значения решения задачи Коши.

Обобщим это наблюдение, выделив семейство методов, в которых на каждом шаге требуется последовательно вычислять два значения правой части ($f$) дифференциального уравнения:

$y_{i+1}=y_i+p_1{K}_1+p_2{K}_2$

1. $K_1=hf(x_i,y_i),$
2. $K_2=hf(x_i+\alpha h,y_i+\beta K_1)$

• $i=0,1,2,\dots ,n-1$
• $p_1,p_2,\alpha ,\beta \in \mathbb{R}$

Явный метод Эйлера также принадлежит семейству

Метод	$p_1$	$p_2$	$\alpha$	$\beta$
Явный метод Эйлера	$1$	$0$	любой	любой
Метод Эйлера с пересчетом	$\frac{1}{2}$	$\frac{1}{2}$	$1$	$1$
Метод Коши	0	1	$\frac{1}{2}$	$\frac{1}{2}$

Это семейство методов называется семейством явных методов Рунге-Кутты

Постановка

Требуется найти такие параметры $p_1,p_2,\alpha ,\beta$ такие, чтобы метод, составленный по этим параметрам имел 2 порядок точности на всей области решения $[x_0,x_0+X]$. Для этого, в силу замечания, методы должны обеспечивать 3 порядок точности на одном шаге