Метод Коши

В случае если при решении задача Коши выбран метод, основанный на интегральном представлении решения и в качестве используемой квадратурной формулы выбрана формула средних прямоугольников, численная процедура, соответственно, задается следующей рекурентной формулой:

$$y_{k+1}=y_k+hf\left(x_{k+\frac{1}{2}},y_{k+\frac{1}{2}}\right),k=0,1,2,\dots ,n-1$$

$x_{k+\frac{1}{2}}=x_k+h,y_{k+\frac{1}{2}}\approx y(x_k+\frac{h}{2})$

Снова, как в методе Эйлера с пересчетом, формула неявная. Вводится вспомогательная процедура, для подстановки в формулу:

1. ${\bar{y}}_{k+\frac{1}{2}}=y_k+\frac{h}{2}f(x_k,y_k)$
2. $y_{k+1}=y_k+hf\left(x_{k+\frac{1}{2}},{\bar{y}}_{k+\frac{1}{2}}\right)$

$k=0,1,2,\dots ,n-1$