Применение метода стрельбы если для решения внешней задачи используется метод Ньютона

Решаем краевую задачу методом стрельбы. В качестве метода для решения внешней задачи берём метод Ньютона.

Уточнение параметра $\mu$ в таком случае происходит по итерационной формуле метода Ньютона:

$${\mu }_{k+1}={\mu }_k-\frac{\phi ({\mu }_k)}{{\phi }^{\prime }({\mu }_k)},k=0,1,2,\dots$$

Здесь на каждом шаге необходимо вычислять значение производной ${\phi }^{\prime }({\mu }_k)$. Для отыскания этой величины воспользуемся уравнением в вариациях.

Определение функции $\phi (\mu )$

Пусть при заданном $\mu$ внутренней задачей Коши

$$\{\begin{array}{l}{y}^{\prime \prime }=f(x,y,y^{\prime }),x\in [a,b],\\ y(a)=\alpha ,y^{\prime }(a)=\mu \end{array}$$

мы получаем решение $y(x,\mu )$ (далее нужно воспринимать $y$ как функцию 2 переменных $x$ и $\mu$). Тогда вторая (краевая) точка даёт функцию:

$$\phi (\mu )=y(b,\mu )-\beta .$$

Нужно найти ${\mu }^{\ast }$ такое, что $\phi ({\mu }^{\ast })=0$

Производная ${\phi }^{\prime }(\mu )$ через вариационную функцию

По определению:

$${\phi }^{\prime }(\mu )=\frac{d}{d\mu }y(b,\mu ).$$

Вводим вариационную функцию 2 переменных:

$$z(x,\mu )=\frac{\partial y(x,\mu )}{\partial \mu }.$$

Дифференцируя по $\mu$ исходное уравнение $y^{\prime \prime }=f(x,y,y^{\prime })$, получаем линейное обыкновенное дифференциальное уравнение (производная сложной функции (тут 3 переменных, но по $x$ это 0)):

$$z^{\prime \prime }=f_y^{\prime }(x,y,y^{\prime })z+f_{y^{\prime }}^{\prime }(x,y,y^{\prime })z^{\prime },$$

• $f_y^{\prime }=\frac{\partial f}{\partial y}$
• $f_{y^{\prime }}^{\prime }=\frac{\partial f}{\partial y^{\prime }}$

Начальные условия для (z) вытекают из зависимости начальных условий $y(a,\mu )=\alpha$ и $y^{\prime }(a,\mu )=\mu$:

$$z(a)=\frac{\partial y(a,\mu )}{\partial \mu }=0,z^{\prime }(a)=\frac{\partial y^{\prime }(a,\mu )}{\partial \mu }=1.$$

Тогда

$${\phi }^{\prime }(\mu )=\frac{d}{d\mu }y(b,\mu )=z(b,\mu ).$$

Итоговая система для поиска ${\phi }^{\prime }({\mu }_k)$

На каждой итерации $k$ решаем 2 внешних задачи (для $y$ и для $z$). Здесь она уже сведена к системе дифференциальных уравнений, чтобы воспользоваться численными методами решения задачи Коши

$$\{\begin{array}{l}{y}^{\prime }=v,\\ v^{\prime }=f(x,y,v),\\ z^{\prime }=w,\\ w^{\prime }=f_y(x,y,v)z+f_{y^{\prime }}(x,y,v)w,\end{array}$$

с начальными условиями

$$y(a)=\alpha ,v(a)={\mu }_k,z(a)=0,w(a)=1.$$

Из решения системы извлекаем:

• $y(b,{\mu }_k)$ для расчёта $\phi ({\mu }_k)=y(b,{\mu }_k)-\beta$,
• $z(b,{\mu }_k)$ для расчёта ${\phi }^{\prime }({\mu }_k)=z(b,{\mu }_k)$

Итерация метода Ньютона

Подставляя в формулу Ньютона извлеченные значения:

$${\mu }_{k+1}={\mu }_k-\frac{\phi ({\mu }_k)}{{\phi }^{\prime }({\mu }_k)}$$

Получаем требуемое

Вывод

Таким образом, метод стрельбы с применением метода Ньютона сводит решение краевой задачи к последовательному численному решению двух вспомогательных задач Коши на каждом шаге метода Ньютона.