Метод стрельбы

Краевую задачу можно свести к 2 связанным подзадачам:

1. задача Коши для дифференциального уравнения 2 порядка
   • $y^{\prime \prime }=f(x,y,y^{\prime }),x\in [a,b]$
   • $y(a)=\alpha$
   • $y^{\prime }(a)=\mu$
2. Уравнение
   • $\varphi (\mu )\stackrel{def}{=}{y}_{\mu }(b)-\beta =0$ - реально по сути функция от $\mu$

Исходная задача будет решена, если найдется такой параметр ${\mu }^{\ast }$, что решение задачи Коши $y_{{\mu }^{\ast }}$ с этим параметром при подстановке в уравнение даст верное равенство

Задачу Коши $(1)$ при фиксированном $\mu$ можно решать численными методами (после сведения к “системе” с 2 задачам задачами Коши для дифференциальных уравнений 1 порядка) как отдельную задачу

Тут важно осознать, что $y_{\mu }$ может рассматриваться как функция двух переменных: $y(x,\mu )$

После нахождения решения задачи Коши, как отдельную задачу можно решить уравнение $(2)$, также численно, уточнив искомый параметр $\mu$

Уточнять параметр нужно до тех пор (перерешивая задачу Коши и уравнениие), пока найденное решение не совпдет с решением исходной задачи или не точность решения не будет удовлетворять заранее установленной погрешности

Эта методика решения краевой задачи называется методом стрельбы

Задача Коши $(1)$ в методе называется внутренней задачей метода стрельбы

Поиск решения уравнения $(2)$ в методе называется внешней задачей метода стрельбы

То есть в терминах метода стрельбы исходная задача сводится к поиску такого параметра ${\mu }^{\ast }$, чтобы решение внутренней задачи являлось решением исходной задачи