Сходимость метода разностной прогонки при решение краевой задачи с ограничениями

Применили метод разностной прогонки для решения краевой задачи

Возникает вопрос, как будет вести себя приближенное решение, рассчитанное методом, с уменьшением размера шага $h$

Покажем, что при $h\to 0$ соответвующее приближенное решение $y_i(h)\to y(x_i)$ (приближенное решение будет сходится к точному решению задачи)

Для этого достаточно оценить погрешности

$${\epsilon }_i=y(x_i)-y_i,i=0,1,\dots ,n$$

Дифференциальное уравнение

Помним, что

$$y^{\prime \prime }(x)=\frac{y(x-h)-2y(x)+y(x+h)}{h^2}+R_i,i=1,\dots ,n-1\text{\hspace{1em}(1)}$$

Причем

$$R_i=-\frac{h^2}{12}{y}^{(4)}(\xi (x))$$

• $\xi (x)\in [x-h,x+h]$
• $i=1,\dots ,n-1$

и справедлива простая оценка:

$$|R_i|=|\frac{h^2}{12}{y}^{(4)}(\xi (x))|\le \frac{M_4{h}^2}{12}$$

• $M_4=ma{x}_{x\in [a,b]}|y^{(4)}(x)|$
• $i=1,\dots ,n-1$

Подставим $(1)$ в исходное дифференциальное уравнение:

$$\frac{y(x-h)-2y(x)+y(x+h)}{h^2}+R_i=p(x_i)y(x_i)+q(x_i),i=1,\dots ,n-1$$

Вычтем из равенства равенство, полученное после дискретизации, когда сводили задачу к системе линейных алгебраических уравнений. Получим

$$\frac{(y(x_{i-1})-y_{i-1})-2(y(x_i)-y_i)+(y(x_{i+1})-y_{i+1})}{h^2}+R_i=p(x_i)(y(x_i)-y_i),i=1,\dots ,n-1$$

В терминах погрешностей равенство можно переписать в виде

$$\frac{{\epsilon }_{i-1}-2{\epsilon }_i+{\epsilon }_{i+1}}{h^2}+R_i=p(x_i){\epsilon }_i,i=1,\dots ,n-1$$

Преобразовав уравнение, получим пачку $(n-1)$ привычных линейных неоднородных уравнений:

$${\epsilon }_{i-1}-(2+h^2{p}_i){\epsilon }_i+{\epsilon }_{i+1}=-R_i{h}^2,i=1,\dots ,n-1\text{\hspace{1em}(2)}$$

Краевые условия

Первого рода

В случае краевых условий 1 рода ${\epsilon }_0=y(x_0)-y_0=0,{\epsilon }_n=y(x_n)-y_n=0$, положили это тут.

Получили вместе с $(2)$ систему линейных уравнений:

$$\{\begin{array}{l}{\epsilon }_0=0\\ {\epsilon }_{i-1}-(2+h^2{p}_i){\epsilon }_i+{\epsilon }_{i+1}=-R_i{h}^2,i=1,\dots ,n-1\\ {\epsilon }_n=0\end{array}$$

Рассмотрим уравнения $i=1,\dots ,n-1$. Они преобразуются к виду и оцениваются:

$$(2+h^2{p}_i){\epsilon }_i={\epsilon }_{i-1}+{\epsilon }_{i+1}+R_i{h}^2\le 2|{\epsilon }^{\ast }|+|R_i|h^2$$

${\epsilon }^{\ast }={\max }_{i=1,\dots ,n-1}|{\epsilon }_i|$

Неравенство не изменится, если сделать замену:

$$(2+h^2{p}^{\ast })|{\epsilon }^{\ast }|\le 2|{\epsilon }^{\ast }|+|R^{\ast }|h^2$$

• $p^{\ast }=p(x^{\ast }),x^{\ast }$-узел, которому соответсувует ${\epsilon }^{\ast }$
• $R^{\ast }$ - погрешность для ${\epsilon }^{\ast }$

Приведя подобные получим:

$$h^2{p}^{\ast }|{\epsilon }^{\ast }|\le |R^{\ast }|h^2$$

Откуда

$$|{\epsilon }^{\ast }|\le \frac{|R^{\ast }|}{p^{\ast }}$$

С учетом оценки $R^{\ast }$ и свойств p, получаем оценку:

$$|y(x_i)-y_i|\le \frac{M_4{h}^2}{12\overline{p}},i=0,1,\dots ,n$$

То есть метод разностной прогонки в случае краевых условия 1 рода сходится при решении задачи со вторым порядком по $h$

Третьего рода

Здесь нужно дополнительно учитывать погрешность формул численного дифференцирования для первой производной на краях:

$$y^{\prime }(a)=\frac{y_1-y_0}{h}+r_0$$ $$y^{\prime }(b)=\frac{y_n-y_{n-1}}{h}+r_n$$ $$|r_0|\le \frac{1}{2}{M}_{2}h,|r_n|\le \frac{1}{2}{M}_{2}h$$

$M_2={\max }_{x\in [a,b]}|y^{\prime \prime }(x)|$

Действуя по аналогии с оценкой погршности при условиях первого рода получаем систему:

$$\{\begin{array}{ll}-(1+h{\alpha }_0){\epsilon }_0+{\epsilon }_1=r_0& \\ {\epsilon }_{i-1}-(2+h^2{p}_i){\epsilon }_i+{\epsilon }_{i+1}=-R_i{h}^2& i=1,\dots ,n-1\\ {\epsilon }_{n-1}-(1+h{\beta }_0){\epsilon }_n=-r_n& \end{array}$$

Действуй по аналогии с оценкой погрешностей с краевыми условиями 1 рода, получаем оценку:

$$|y(x_i)-y_i|\le \max \left\{\frac{1}{2}{M}_{2}h,\frac{1}{2}{M}_{2}h,\frac{1}{12}{M}_4{h}^2\right\},i=0,1,2,\dots ,n$$

• $M_2=\underset{x\in [a,b]}{\max }|y^{\prime \prime }(x)|$
• $M_4=\underset{x\in [a,b]}{\max }|y^{(4)}(x)|$

**То есть метод разностной прогонки в случае краевых условия 3 рода сходится при решении задачи с первым порядком по $h$