Сведение краевой задачи с ограниченями к системе линейных алгебраических уравнений

Решается краевая задача с ограничениями на $f$ и краевые условия.

Положим дополнительно, что решение задачи четырежды непрерывно-дифференцируемая функция $y\in C^{(4)}([a,b])$

Тогда в любой точке $x\in [a,b]$ вторую производную решения в $x$ можно представить в виде (конечная разность*):

$$y^{\prime \prime }(x)=\frac{y(x-h)-2y(x)+y(x+h)}{h^2}-\frac{h^2}{12}{y}^{(4)}(\xi (x))$$

$\xi (x)\in [x-h,x+h]$

Дискретизация

Дифференциальное уравнение

Проведем дискретизацию (переход он непрерывной модели к дискретной) решаемого дифференциального уравнения:

$$\frac{y_{i-1}-2y_i+y_{i+1}}{h^2}=p_i{y}_i+q_i,i=1,2,\dots ,n-1\text{\hspace{1em}(1)}$$

• $p_i=p(x_i)$
• $q_i=q(x_i)$

Краевых условия 1 рода

Левое краевое условие: $y_0=\alpha$

Правое краевое условие: $y_n=\beta$

Краевых условий 3 рода

Левое краевое условие:

$$\frac{y_1-y_0}{h}={\alpha }_0{y}_0+{\alpha }_1\text{\hspace{1em}(2)}$$

Правое краевое условие:

$$\frac{y_n-y_{n-1}}{h}=-{\beta }_0{y}_n+{\beta }_1\text{\hspace{1em}(3)}$$

Формирование системы линейных алгебраических уравнений

C условиями 1 рода

Из уравнений $(1)$ (преобразовали) и $(2)$ получаем систему из $n+1$ уравнения для $n+1$ неизвестных вида:

$$\{\begin{array}{l}{y}_0=\alpha \\ y_{i-1}-(2+h^2{p}_i)y_i+y_{i+1}=h^2{q}_i,i=1,2,\dots ,n-1\\ y_n=\beta \end{array}$$

Обозначив

• $A_i=2+h^2{p}_i,i=1\dots ,n-1$
• $B_i=h^2{q}_i,i=1\dots ,n-1$
• $A_0=1,B_0=\alpha ,A_n=1,B_n=\beta$

Эта же система в матричной форме выглядит следующим образом:

$$\left(\begin{array}{ccccccc}{A}_0& 0& 0& \cdots & 0& 0& 0\\ 1& -A_1& 1& \cdots & 0& 0& 0\\ 0& 1& -A_2& \cdots & 0& 0& 0\\ ⋮& ⋮& ⋮& \ddots & ⋮& ⋮& ⋮\\ 0& 0& 0& \cdots & 1& -A_{n-1}& 1\\ 0& 0& 0& \cdots & 0& 0& A_n\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}{y}_0\\ y_1\\ y_2\\ ⋮\\ y_{n-1}\\ y_n\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}{B}_0\\ B_1\\ B_2\\ ⋮\\ B_{n-1}\\ B_n\end{array}\right)$$

С условиями 3 рода

Из уравнений $(1)$ (преобразовали) и $(3)$ получаем систему из $n+1$ уравнения для $n+1$ неизвестных:

$$\{\begin{array}{ll}-(1+h{\alpha }_0)y_0+y_1=h{\alpha }_1,& \\ y_{i-1}-(2+h^2{p}_i)y_i+y_{i+1}=h^2{q}_i,& i=1,2,\dots ,n-1,\\ y_{n-1}-(1+h{\beta }_0)y_n=-h{\beta }_1& \end{array}$$

Обозначив

• $A_i=2+h^2{p}_i,i=1\dots ,n-1$
• $B_i=h^2{q}_i,i=1\dots ,n-1$
• $A_0=1+h{\alpha }_0,B_0=h{\alpha }_1,A_n=1+h{\beta }_0,B_n=-h\beta$

Эта же система с матричной форме выглядит следующим образом:

$$\left(\begin{array}{ccccccc}-A_0& 1& 0& \cdots & 0& 0& 0\\ 1& -A_1& 1& \cdots & 0& 0& 0\\ 0& 1& -A_2& \cdots & 0& 0& 0\\ ⋮& ⋮& ⋮& \ddots & ⋮& ⋮& ⋮\\ 0& 0& 0& \cdots & 1& -A_{n-1}& 1\\ 0& 0& 0& \cdots & 0& 1& -A_n\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}{y}_0\\ y_1\\ y_2\\ ⋮\\ y_{n-1}\\ y_n\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}{B}_0\\ B_1\\ B_2\\ ⋮\\ B_{n-1}\\ B_n\end{array}\right)$$