Второй семестр
Задача интегрирования
- Численное интегрирование. Квадратурные формулы. Характеристическое свойство интерполяционной квадратурной формулы. Алгебраическая степень точности квадратурной формулы. Формулы Ньютона- Котеса. Погрешность квадратурной формулы
- Численное интегрирование. Составные квадратурные формулы. Неустранимая погрешность квадратурных формул. Метод Рунге практической оценки погрешности составных квадратурных формул.
- Численное интегрирование. Вычисление интегралов с весом. Квадратурные формулы наивысшей алгебраической степени точности (Квадратуры Гаусса). Основные теоремы. Алгоритм построения квадратуры Гаусса.
- Численное интегрирование. Вычисление интегралов с особенностями. Методы устранения особенности (Аналитический, мультипликативный, аддитивный методы, метод усечения).
Дополнительные источники
Задача Коши
- Численные методы решения задачи Коши для обыкновенного дифференциального уравнения первого порядка. Метод разложения в ряд Тейлора. Явный метод Эйлера. Метод Эйлера с пересчетом (неявный метод Эйлера). Метод Коши. Геометрическая интерпретация. Погрешность метода на одном шаге, погрешность метода на всем интервале (Доказательство на примере явного метода Эйлера).
- Численные методы решения задачи Коши для обыкновенного дифференциального уравнения первого порядка. Методы Рунге-Кутта. Методы Рунге-Кутта второго порядка точности на всем интервале.
- Численные методы решения задачи Коши для обыкновенного дифференциального уравнения первого порядка. Разностные методы решения. Интерполяционные и экстраполяционные формулы Адамса.
- Численные методы решения задачи Коши для обыкновенного дифференциального уравнения первого порядка. К-шаговые разностные методы (явные и неявные). Невязка и погрешность метода на одном шаге и их связь. Алгебраическая степень точности метода. Метод неопределенных коэффициентов.
- Численные методы решения задачи Коши для обыкновенного дифференциального уравнения первого порядка. Устойчивость разностных методов. Нуль-устойчивость разностного метода. А-устойчивость разностного метода. Понятие жестких систем.
Краевая задача
- Численные методы решения краевой задачи для обыкновенного дифференциального уравнения второго порядка. Метод стрельбы.
- Численные методы решения краевой задачи для обыкновенного дифференциального уравнения второго порядка. Метод разностной прогонки решения линейной краевой задачи.
- Численные методы решения краевой задачи для обыкновенного дифференциального уравнения второго порядка. Вариационные методы решения. Уравнение Эйлера. Сведение вариационной задачи для функционала к задаче на экстремум для функции нескольких переменных. skip
- Численные методы решения краевой задачи для обыкновенного дифференциального уравнения второго порядка. Метод Ритца для линейного уравнения второго порядка. skip
- Численные методы решения краевой задачи для обыкновенного дифференциального уравнения второго порядка. Методы Галеркина, наименьших квадратов, коллокации. skip
Прочее
- Приближение функций. Сплайны и некоторые их приложения. Интерполяционный кубический сплайн. Эффективный способ интерполяционного кубического сплайна построения по значениям его вторых производных. Экстремальное свойство интерполяционного кубического сплайна.
- Метод наименьших квадратов в задаче решения систем линейных алгебраических уравнений. Невырожденный случай.
- Метод наименьших квадратов в задаче решения систем линейных алгебраических уравнений. Вырожденный случай.
- Метод наименьших квадратов в задаче приближения функций. Дискретный вариант.
- Метод наименьших квадратов в задаче приближения функций. Непрерывный вариант.
- Численные методы решения интегральных уравнений Фредгольма. Метод разложения интегрального оператора по его спектру и метод замены интеграла конечной суммой. Собственные функции ядра интегрального уравнения.