Следствие. Из критерия сходимости интерполяционного квадратурного процесса

Из критерия сходимости интерполяционного квадратурного процесса следует, что

Если $A_k^{(n)}\ge 0$ $\forall n\ge 0$ и $\forall k=0,1,\dots ,n$, то интерполяционный квадратурный процесс для любой $f\in C([a,b])$ сходится

Доказательство

Пусть все квадратурные коэффициенты в данной интерполяционной квадратурной формуле неотрицательны

Посколькую формула точна для многочлена нулевой степени, например, $Q_0\equiv 1$, то

$$\sum _{k=0}^n\left|A_k^{(n)}\right|=\sum _{k=0}^n{A}_k^{(n)}\cdot 1\stackrel{\ast }{=}{\int }_a^{b}1dx=b-a=M$$

* - воспользовались точностью формулы для $Q_0$