Метод Эйлера с пересчетом

В случае если при решении задача Коши выбран метод, основанный на интегральном представлении решения и в качестве используемой квадратурной формулы выбрана формула трапеций, численная процедура, соответственно, задается следующей рекурентной формулой:

$$y_{k+1}=y_k+\frac{h}{2}\left[f(x_k,y_k)+f(x_{k+1},y_{k+1})\right]$$

$k=0,1,2,\dots ,n-1$

Процедура вычисления

Формула неявная (в обоих частях формулы присутсвует неизвестный $y_{k+1},k=0,1,\dots ,n-1$)

Поэтому на практике используется следующая процедура и в формулу выше в итоге попадает $y_{k+1}$, вычисленный следующим образом:

1. ${\bar{y}}_{k+1}=y_k+hf(x_k,y_k)$ - нашли “промежуточное” решение явным методом Эйлера
2. $y_{k+1}=y_k+\frac{h}{2}\left[f(x_k,y_k)+f(x_{k+1},{\bar{y}}_{k+1})\right]$ “пересчитали”, подставив в формулу

$k=0,1,2,\dots ,n-1$