Метод решения задачи Коши, основанный на интегральном представлении решения

Решение задачи Коши может быть представлено в следующей (интегральной) форме:

$$y(x)=y(x_0)+{\int }_{x_0}^{x}f(\tau ,y(\tau ))d\tau \forall x\in [x_0,x_0+X]$$

Из равенства следует, что для любого узла $x_k$ $(k=0,1,2,\dots ,n-1)$

$$y(x_{k+1})=y(x_k)+{\int }_{x_k}^{x_{k+1}}F(x)dx$$

$F(x)=f(x,y(x)),x\in [x_0,x_0+X]$

Для вычисления приближённого значения интеграла $I[F\mid [x_k,x_{k+1}]]$ в правой части равенства может быть использована любая формула численного интегрирования. Тогда замена в равенстве этого интеграла квадратурной суммой $S_m[F{|}_{[x_k,x_{k+1}]}]$ приводит к приближенному равенству

$$y(x_{k+1})\approx y(x_k)+S_m[F{|}_{[x_k,x_{k+1}]}]$$

или подробнее, раскрыв квадратурную сумму до квадратурных коэффициентов:

$$y(x_{k+1})\approx y(x_k)+\sum _{i=1}^m{\bar{A}}_{i}f({\bar{x}}_i,y({\bar{x}}_i))$$

где ${\bar{x}}_i\in [x_k,x_{k+1}],i=0,1,\dots ,m$

Требование точности этого равенства ($y_i=y(x_i),i=0,1,\dots ,n-1$) для приближённых значений функции $y$ в соответствующих узлах приводит к следующей численной процедуре:

$$y_{k+1}=y_k+\sum _{i=0}^m{\bar{A}}_{i}f({\bar{x}}_i,{\bar{y}}_i)$$

$k=0,1,2,\dots ,n-1$