Метод решения задачи Коши, основанный на разложении функции в ряд Тейлора

Пусть $f$ в задаче выбрана так, что у точного решения задачи $y(x{|}_{x_0,y_0})$ существуют производные до достаточно большого порядка. Считаем, что в искомом численном решении узлы будут равностоящими, то есть расстояние между соседними равняется $h=\frac{X}{n}$ (размер шага):

$$x_{i+1}=x_i+h,\forall i=0,\dots ,(n-1)$$

Разложим решение $y(x{|}_{x_0,y_0})$ в ряд Тейлора в окрестности узла $x_0$ (с приращением $h$). Остаточный член запишем в форме Пеано:

$$y(x_0+h)=y(x_0)+y^{\prime }(x_0)h+\frac{y^{\prime \prime }(x_0)}{2!}{h}^2+\cdots +\frac{y^{(k)}(x_0)}{k!}{h}^k+O(h^{k+1})$$

В зависимости от рассматриваемого уравнения и требуемой точности, формулу можно записывать для различных $k$. Возьмем, в качестве примера разложение до б.о.о 2 члена ($k=2$):

$$y(x_0+h)\stackrel{(1)}{=}y(x_0)+f(x_0,y(x_0))h+\frac{h^2}{2}\left[f_x^{\prime }(x_0,y(x_0))+f_y^{\prime }(x_0,y(x_0))f(x_0,y(x_0))\right]+O(h^3)$$

$y^{\prime }$ заменили на $f$ по условию задачи Коши:

• $y^{\prime }(x_0)=f(x_0,y(x_0))$
• $y^{\prime \prime }(x_0)=f_x^{\prime }(x_0,y(x_0))+f_y^{\prime }(x_0,y(x_0))y^{\prime }(x_0)=f_x^{\prime }(x_0,y(x_0))+f_y^{\prime }(x_0,y(x_0))f(x_0,y(x_0))$

Отбрасывание остаточного члена приводит к приближенному равенству

$$y(x_0+h)\approx y(x_0)+f(x_0,y(x_0))h+\frac{h^2}{2}\left[f_x^{\prime }(x_0,y(x_0))+f_y^{\prime }(x_0,y(x_0))f(x_0,y(x_0))\right]$$

которое связывает точное значение $y(x_0)$ c приближенным значение $y(x_1)=y(x_0+h)$

Требование точности этого равенства для приближённых значений $y_i$ и $y_{i+1}$ в произвольных двух соседних узлах $x_i$ и $x_{i+1}$ $(0\le i<n)$ приводит к реккурентной формуле:

$$y_{i+1}=y_i+f(x_i,y_i)h+\frac{h^2}{2}\left(f_x^{\prime }(x_i,y_i)+f_y^{\prime }(x_i,y_i)f(x_i,y_i)\right)\forall i=0,1,\dots ,n-1,$$

которая задаёт итерационный метод 3-го порядка точности на одном шаге (итерации), так как

$$|y(x_1)-y_1|=O(h^3),i=0.$$

Аналогично работает идея решени при других значениях $k$