Квадратурная формула $I [f] = S_{n} [f]$ является интерполяционной $\Leftrightarrow$ она точна для любого многочлена степени $n$ и ниже, то есть:

\forall i = 1, ..., n (I [P_{i}] = S_{n} [P_{i}])

Доказательство

Необходимость

Пусть формула является интерполяционной. Покажем, что она точна для любого многочлена $P_{n}$ (степени $n$ ):

Распишем коэффициенты $A_{k}$ по определению интерполяционной квадратурной суммы

Под интегралом стоит интерполяционный многочлен Лагранжа для многочлена $P_{n}$ (другое представление этого же многочлена). Поэтому:

Почему это предствление?

Пусть формула точна для любого многочлена степени $P_{n}$ (и ниже). Покажем, что ее коэффициенты вычисляются по формуле Ak:

Точна для любого, в частности точна для всех многочленов вида:

Q_{n}^{(j)} (x) = i = 0 i \neq = j \prod n \frac{x - x _{i}}{x _{j} - x _{i}}

То есть, подставив их в данную квадратурную формулу, получим верные равенства:

\int_{a}^{b} i = 0 i \neq = j \prod n \frac{x - x _{i}}{x _{j} - x _{i}} = \int_{a}^{b} Q_{n}^{(j)} (x) d x = k = 0 \sum n A_{k} Q_{n}^{(j)} (x_{k}) = A_{j}

Поскольку так подобрали $Q_{n}^{(j)}$ , что