Теорема. Критерий максимальной алгебраической степени точности интерполяционной квадратурной функции с весовой функцией

Для того чтобы решить задачу, то есть чтобы интерполяционная квадратурная формула с весовой функцией имела алгебраическую степень точности $2n+1$ необходимо и достаточно, чтобы квадратурные узлы $x_0,x_1,x_2,\dots ,x_n\in [a,b]$ были выбраны так, чтобы многочлен ${\omega }_n(x)=(x-x_0)(x-x_1)\cdots (x-x_n)$ был ортогонален с весом $p$ любому многочлену $Q_m(x)$ ($m\le n$). То есть

$${\int }_a^{b}p(x)Q_n(x){\omega }_n(x)dx=0\forall Q_n(x)$$

Скалярное произведение в пространстве функций, определенных на $[a,b]$: $(f,f)={\int }_a^{b}f(x)g(x)dx$

Специально убрал пункт “a)” из формулировки критерия, потому что коэффициенты считаются по таким формулам по определению формулы

Доказательство

Необходимость

Пусть формула имеет степень точности $2n+1$ → формула точна для всех многочленов степени $2n+1$ и ниже. Покажем, что для любого многочлена степени $n$ и ниже, его скалярное произведение с $p\cdot w_n$ дает 0:

$${\int }_a^{b}p(x)Q_n(x){\omega }_n(x)dx\stackrel{(1)}{=}{\int }_a^{b}p(x)P_{2n+1}(x)dx\stackrel{(2)}{=}\sum _{k=0}^n{A}_k{P}_{2n+1}(x_k)\stackrel{(3)}{=}\sum _{k=0}^n{A}_k{Q}_n(x_k){\omega }_n(x_k)=0$$

1. Перемножаются $w_n$ степепени $n+1$ и $Q_n$ степени $n$. Максимально возможная степень получившегося после перемножения многочлена не может превзойти $2n+1$ (свойство перемножения степеней). Получаем многочлен $P_{2n+1}$
2. Так как формула точна для всех многочленов степени $2n+1$ и ниже, в частности она точна $P_{2n+1}$. Используем ее, переходим от интеграла к квадратурной сумме
3. Вспоминаем, что $P_{2n+1}$ - произведение $w_n$ и $Q_n$
4. По определению $w_n$ имеет корни в узлах $x_i,i=0,\dots ,n$

Достаточность

Пусть для узлов формулы выполняется:

$${\int }_a^{b}p(x)Q_n(x){\omega }_n(x)dx=0\forall Q_n(x)$$

Покажем, что алгебраическая степень точности формулы равна не меньше $2n+1$.

Произвольный многочлен $Q_{2n+1}(x)$ можно представить в виде:

$$Q_{2n+1}(x)=Q_n(x){\omega }_n(x)+H_m(x),m\le n$$

Тогда:

$$\begin{array}{rl}{\int }_a^{b}p(x)Q_{2n+1}(x)dx& ={\int }_a^{b}p(x)\left(G_n(x){\omega }_n(x)+H_m(x)\right)dx=\\ & ={\int }_a^{b}p(x)G_n(x){\omega }_n(x)dx+{\int }_a^{b}p(x)H_m(x)dx\stackrel{(1)}{=}\\ & ={\int }_a^{b}p(x)H_m(x)dx\stackrel{(2)}{=}\\ & =\sum _{k=0}^n{A}_k{H}_m(x_k)\stackrel{(3)}{=}\\ & =\sum _{k=0}^n{A}_k{H}_m(x_k)+\sum _{k=0}^n{A}_k{Q}_n(x_k)\underset{0}{\underbrace{{\omega }_n(x_k)}}=\\ & =\sum _{k=0}^n{A}_k\left(H_m(x_k)+Q_n(x_k){\omega }_n(x_k)\right)\stackrel{(4)}{=}\\ & =\sum _{k=0}^n{A}_k{Q}_{2n+1}(x_k)=\\ & =S_n[Q_{2n+1}]\end{array}$$

1. Первый интеграл пропал по условию (нулевое скалярное произведение)
2. Формула, в силу критерия уже точна для многочленов степени $n+1$ и ниже. $deg(H_m)\le n$ по построению
3. Возьмем любой многочлен $G_n$
4. В силу произвольности $G_n$ и того же факта, что произвольный многочлен $Q_{2n+1}(x)$ можно представить в виде: $Q_{2n+1}(x)=Q_n(x){\omega }_n(x)+H_m(x),m\le n$

Опечатка

В презе в достаточности $G_n$, надо $Q_n$