Формирование параметров для интерполяционного кубического сплайна

Интерполяционный кубический сплайн по определению задается на $[a,b]$ формулами:

$$S(x)\stackrel{def}{=}{p}_i(x)=A_i{x}^3+B_i{x}^2+C_{i}x+D_i,x\in [x_{i-1},x_i],i=1,2,\dots ,n$$

Всего получается необходимо $4n$ параметров, чтобы задать ИКС

Параметры должны быть подобраны так, чтобы удовлетворять следующим условиям:

1. $p_i(x_{i-1})=y_{i-1},p_i(x_i)=y_i,i=1,\dots ,n$ (интерполяционное условие)
2. $p_i^{\prime }(x_i)=p_{i+1}^{\prime }(x_i),i=1,\dots ,n-1$ (требование непрерывности производных на “стыках” по определению интерполяционного кубического сплайна)
3. $p_i^{\prime \prime }(x_i)=p_{i+1}^{\prime \prime }(x_i),i=1,\dots ,n-1$ (требование непрерывности вторых производных на “стыках” по определению интерполяционного кубического сплайна)

В сумме имеем $n+n+(n-1)+(n-1)=4n-2$ условия для определения значений $4n$ параметров

Для однозначного определения сплайна $S$ добавим к условиям на концы отрезка $[a,b]$ либо (краевые условия 1 типа):

1. $S^{\prime }(a)=y_0^{\prime }$ - Производная искомого сплайна в левом конце отрезка должна что?
2. $S^{\prime }(b)=y_n^{\prime }$

Либо (краевые условия 2 типа):

1. $S^{\prime \prime }(a)=y_0^{\prime \prime }$ - Производная искомого сплайна в левом конце отрезка должна что?
2. $S^{\prime \prime }(b)=y_n^{\prime \prime }$