k-шаговые методы Адамса для решения задачи Коши

Являются k-шаговыми разностными методами

Идея

Для решения задачи Коши На каждом $(m+1$-ом) шаге метода используются значения правой части $f(x,y)$ дифференциального уравнения в текущем и предыдущих узлах $x_{m-j}$ ($j=0,1,\dots ,k-1$). Его численная процедура строится на основе интегрального представления точного решения задачи Коши (как здесь)

$$y(x_{m+1})=y(x_m)+{\int }_{x_m}^{x_{m+1}}F(x)dx$$

$F(x)=f(x,y(x))$, $x\in [x_0,x_0+X]$.

Для функции $F$ на основе данных $(x_{m-j},y(x_{m-j}))$, $j=0,1,\dots ,k-1$, строится интерполяционный многочлен Лагранжа $L_{k-1}(x)$. Затем, в определенном интеграле выше, $F$ заменяется построенным многочленом (погрешность отбрасывается)

Сам многочлен строится не по точным значениям решения, а по приближенным значениям решения задачи Коши в соответствующих узлах: $y_{m+1}\approx y(x_{m+1})$, $y_{m-j}\approx y(x_{m-j})$ ($j=0,1,\dots ,k-1$) (посчитанным на предыдущих шагах)

Подробнее то же самое для понимания (для явного метода):

Интегральное представление — отправная точка

Мы знаем, что точное решение задачи Коши $y^{\prime }(x)=f(x,y(x))$ с начальным условием $y(x_0)=y_0$ на шаге от $x_m$ до $x_{m+1}=x_m+h$ можно записать как:

$$y(x_{m+1})=y(x_m)+{\int }_{x_m}^{x_{m+1}}f(x,y(x))dx$$

Это абсолютно точно. Проблема в том, что мы не знаем $f(x,y(x))$ (то есть $y(x)$) на всём интервале $[x_m,x_{m+1}]$, так как $y(x)$ как раз и является искомой функцией.

Проблема вычисления интеграла

Чтобы вычислить интеграл ${\int }_{x_m}^{x_{m+1}}F(x)dx$, где $F(x)=f(x,y(x))$, нам нужно знать $F(x)$ на всём отрезке $[x_m,x_{m+1}]$. Но у нас есть только приближённые значения решения $y$ (и, следовательно, значения $F$) в дискретных точках: $x_m,x_{m-1},x_{m-2},\dots ,x_{m-k+1}$.

Аппроксимация $F(x)$

Вот здесь начинает работать интерполяция. У нас есть $k$ последних вычисленных точек:

• $(x_m,y_m)\approx (x_m,y(x_m))\Rightarrow F_m=f(x_m,y_m)$
• $(x_{m-1},y_{m-1})\approx (x_{m-1},y(x_{m-1}))\Rightarrow F_{m-1}=f(x_{m-1},y_{m-1})$
• $\dots$
• $(x_{m-k+1},y_{m-k+1})\approx (x_{m-k+1},y(x_{m-k+1}))\Rightarrow F_{m-k+1}=f(x_{m-k+1},y_{m-k+1})$

Мы используем эти $k$ точек $(x_{m-j},F_{m-j})$, для $j=0,1,\dots ,k-1$, чтобы построить интерполяционный многочлен Лагранжа $L_{k-1}(x)$ степени $k-1$, который аппроксимирует неизвестную функцию $F(x)$ на интервале, охватывающем эти точки (обычно от $x_{m-k+1}$ до $x_m$)

Замена $F(x)$ на интерполянт

Теперь мы совершаем ключевое приближение: предполагаем, что многочлен $L$

Переход к приближенному решению

Теперь мы заменяем точные значения решения $y(x_m)$ и $y(x_{m+1})$ на их численные приближения $y_m$ и $y_{m+1}$, которые мы вычисляем. Получаем формулу для приближённого значения:

$$y_{m+1}=y_m+{\int }_{x_m}^{x_{m+1}}{L}_{k-1}(x)dx$$

Это и есть формула метода

Ключевое упрощение: интеграл от многочлена

Самое важное преимущество! Интеграл от интерполяционного многочлена Лагранжа вычисляется аналитически. Поскольку $L_{k-1}(x)$ — это многочлен, его интеграл на отрезке $[x_m,x_{m+1}]$ легко берётся. Более того, результат этого интегрирования оказывается линейной комбинацией значений многочлена в уже вычисленных точках