k-шаговый разностный метод

Пусть решается задача Коши

$k$-шаговым разностным методом решения задачи называется рекурентная формула

$$y_m=\sum _{i=1}^k{\alpha }_i{y}_{m-i}+h\sum _{j=0}^k{\beta }_j{f}_{m-j}\text{\hspace{1em}(1)}$$

• $m=k,\dots ,n-1$
• ${\alpha }_i\in \mathbb{R}$ ($i=1,2,\dots ,k$)
• ${\beta }_j\in \mathbb{R}$ ($i=1,2,\dots ,k$)
• $f_{m-j}=f(x_{m-j},y_{m-j})$ ($j=0,1,\dots ,k$)

Говорят, что формула $(1)$ точна, если она находит точные значения решения во всех рассматриваемых узлах ($y_i=y(x_i),i=0,\dots ,n-1$)