Функан 5 сем теоретические вопросы

Вопросы

тык

1. Метрические и линейные нормированные пространства. Определения и примеры основных пространств
2. Шары, открытые и замкнутые множества в метрических пространствах… Сходимость последовательности в метрическом пространстве. Сходимость в основных пространствах
3. Сравнение норм Дима
4. Полные и неполные пространства, примеры. Принцип вложенных шаров
5. Принцип сжимающих отображений и его обобщение
6. Сепарабельные пространства. Примеры
7. Евклидовы и гильбертовы пространства. Критерий задания нормы с помощью скалярного произведения
8. Элемент наилучшего приближения. Теорема о существовании и единственности элемента… наилучшего приближения замкнутым выпуклым множеством в гильбертовом пространстве
9. Ортогональность элементов в евклидовом пространстве
10. Полные, ортогональные и ортонормированные системы… Экстремальное свойство частичных сумм ряда Фурье. Неравенство Бесселя и равенство Парсеваля
11. Базис в линейном нормированном пространстве, связь с полными системами…. Критерии ортонормированного базиса в гильбертовом пространстве. Существование базиса в сепарабельном гильбертовом пространстве
12. Линейные операторы. Непрерывность, ограниченность, норма ограниченного оператора. Непрерывность, ограниченность, норма ограниченного оператора
13. Пространство линейных непрерывных операторов. Поточечная и равномерная сходимости последовательности операторов. Принцип равномерной ограниченности. Теорема Банаха-Штейнгауза
14. Функционалы. Сопряженное пространство. Общий вид линейного непрерывного функционала на гильбертовом пространстве - теорема Рисса
15. Сопряженный оператор и его свойства
16. Обратный оператор. Критерий обратимости, критерий ограниченности обратного оператора. Теорема Банаха о непрерывности обратного оператора (без доказательства)
17. Компактные и предкомпактные множества в метрическом пространстве. Критерий предкомпактности в полном пространстве - теорема Хаусдорфа (без доказательства). Теорема Арцела (без доказательства)
18. Вполне непрерывные операторы и их свойства. Множество $\sigma (X,Y)$
19. Свойства оператора $I-А$ , $А\in \sigma (Н)$. Теоремы Фредгольма

Sources

Конспекты димы, сфотканные Арсением

Может понадобится

• Неравенство Гёльдера
• Неравенство Минковского
• Неоднородное линейное интегральное уравнение Фредгольма второго рода
• Неоднородное линейное интегральное уравнение Вольтера второго рода
• В сепарабельном гильбертовом пространстве любая ортонормированная система не более чем счетна
• В сепарабельном гильбертовом пространстве существует полная ортонормированная система

Упражнения с лекций