Замечание. Получение рекурентной формулы явного метода Эйлера через формулы явных методов Адамса k-го порядка

Рекурентная формула явного метода Эйлера может также быть получена с использованием формул явных методов Адамса k-го порядка при $k=1$ для решения задачи Коши:

$$L_0(x)=F(x_m)\stackrel{def}{=}f(x_m,y_m)$$

Строится интерполяционный многочлен Лагранжа степени 0 по единственному предыдущему узлу $x_m,m=0,1,\dots n-1$

Тогда конкретная явная формула Адамса 1 порядка имеет вид

$$y_{m+1}=y_m+{\int }_{x_m}^{x_{m+1}}{L}_0(x)dx\stackrel{(1)}{=}{y}_m+f(x_m,y_m)h,m=0,1,\dots ,n-1.$$

1 - расписали многочлен $L_0$ по определению выше. Он представляет собой константу. Вынесли ее из под интеграла, исползуя свойство однородности интеграла. Полученный интеграл равняется 1 (разность между концами отрезка интегрирования составляет размер шага $h$)