Метод Адамса-Мултона

Выводится аналогично выводу формулы

Является неявным методом Адамса 2 порядка

Строится интерполяционный многочлен Лагранжа степени 2 по текущему и 2 предыдущим узлам $x_{m+1},x_m,x_{m-1},m=1,2,\dots ,n-1$ (здесь записан в форме Ньютона)

$$L_2(x)=F(x_{m+1})+F(x_{m+1},x_m)(x-x_{m+1})+F(x_{m+1},x_m,x_{m-1})(x-x_{m+1})(x-x_m)=$$ $$=f_{m+1}+\frac{f_{m+1}-f_m}{h}(x-x_{m+1})+\frac{f_{m+1}-2f_m+f_{m-1}}{2h^2}(x-x_{m+1})(x-x_m)$$

$F(x_{m+1},x_m),F(x_{m+1},x_m,x_{m-1})$ - разделенные разности

$f_i=F(x_i)=f(x_i,y_i),i=m+1,m,m-1$

Тогда сама формула примет вид:

$$y_{m+1}=y_m+{\int }_{x_m}^{x_{m+1}}{L}_2(x)dx=y_m+\frac{h}{12}\left(5f_{m+1}+8f_m-f_{m-1}\right),$$

$m=1,2,\dots ,n-1$