Оценка погрешности интерполяционной квадратурной формулы при наличии кратных квадратурных узлов

В замечании упоминалось, что алгебраическая степень точности любой интерполяционной квадратурной формулы не меньше числа узлов, по которым строится квадратурная сумма для построения формулы. Степень может быть больше, если известны значения функции в кратных узлах (производных функции в узлах)

Пусть $Q_N$ - Интерполяционный многочлен Эрмита, построенный для функции $f$ по набору кратных узлов $x_0,x_1,\dots ,x_2\in [a,b]$.

Поскольку $I[Q_N]=S_n[Q_N]$

• $I[Q_N]={\int }_a^b{Q}_N(x)dx$
• $S_n[Q_N]$ - квадратурная сумма

То

$$R_n[f]=I[f]-S_n[f]=(I[f]-I[Q_N])-(S_n[f]-S_n[Q_N])$$

Откуда, в силу свойств линейности определенного интеграла и квадратурной суммы

$$R_n[f]=I[f-Q_N]-S_n[f-Q_N]$$

где $S_n[f-Q_N]=0$, так как $\forall i=0,1,\dots ,n{Q}_N(x_i)=f(x_i)$

То есть

$$R_n[f]=I[f-Q_N]$$