Оценка погрешности формулы средних прямоугольников при кратных квадратурных узлах

Пусть $Q_1$ - Интерполяционный многочлен Эрмита по функции $f$, построенный по двукратному узлу $x_0=\frac{a+b}{2}$, то есть

$$Q_1(x_0)=f(x_0),Q_1^{\prime }(x_0)=f^{\prime }(x_0)$$

Положим $f\in C^{(2)}([a,b])$

Тогда, в силу оценки:

$$R_0[f]=I[f-Q_1]\stackrel{(1)}{=}{\int }_a^{b}f\left(x,\frac{a+b}{2},\frac{a+b}{2}\right){\left(x-\frac{a+b}{2}\right)}^{2}dx=f\left(\eta ,\frac{a+b}{2},\frac{a+b}{2}\right){\int }_a^b{\left(x-\frac{a+b}{2}\right)}^{2}dx=\frac{f^{\prime \prime }(\xi )}{2}\frac{(b-a{)}^3}{12}$$

где

• $\xi ,\eta \in [a,b]$

Это равенство тогда можно оценить:

$$|R_0[f]|\le \frac{M_2}{24}(b-a{)}^3$$

где

• M_2 = \max_\limits{x \in [a, b]} |f''(x)|