Оценка погрешности квадратурной формулы Гаусса

Пусть

• $f\in C^{(2n+2)}([a,b])$
• Для $f$ составлена квадратурная формула гаусса с вытекающими из критерия ограничениями на вид весовой функции $p$

Тогда

$$R_n[f]=\frac{f^{(2n+2)}(\xi )}{(2n+2)!}{\int }_a^{b}p(x)({\omega }_n(x){)}^{2}dx$$

и справедлива оценка

$$|R_n[f]|\le \frac{M_{2n+2}}{(2n+2)!}{\int }_a^{b}p(x)({\omega }_n(x){)}^{2}dx,$$

• $\xi \in [a,b]$
• $M_{2n+2}={\max }_{x\in [a,b]}|f^{(2n+2)}(x)|$

Доказательство

Пусть $L_{2n+1}(x)$ - интерполяционный многочлен Эрмита, построенный для функции $f$ по набору двукратных узлов

$x_i\in [a,b]$ ($i=0,1,\dots ,n$)

Тогда, в силу [Свойство. Разделенная разность для k раз непрерывно-дифференцируемых функций|свойства]

$$f(x)=L_{2n+1}(x)+f(x,x_0,x_0,\dots ,x_n,x_n)({\omega }_n(x){)}^2.$$

Следовательно, из постановки задачи, погрешность считается как:

$$R_n[f]={\int }_a^{b}p(x)f(x,x_0,x_0,\dots ,x_n,x_n)({\omega }_n(x){)}^{2}dx=f(\eta ,x_0,x_0,\dots ,x_n,x_n){\int }_a^{b}p(x)({\omega }_n(x){)}^{2}dx=\frac{f^{(2n+2)}(\xi )}{(2n+2)!}{\int }_a^{b}p(x)({\omega }_n(x){)}^{2}dx$$

• $\eta \in [a,b]$ (по теореме о среднем)
• $\xi \in [a,b]$