Оценка погрешности составной формулы средних прямоугольников

Оценим погрешность $R_m[f]$ составной квадратурной формулы средних прямоугольников на $m-1$ Элементарных отрезках. Положим

• $f\in C^{(1)}([a,b])$
• $M_1=ma{x}_{x\in [a,b]}|f^{\prime }(x)|$

$$|R_m[f]|\stackrel{(1)}{\le }\sum _{i=0}^{m-1}|R_0[f{|}_{[x_i,x_{i+1}]}]|\stackrel{(2)}{\le }\sum _{i=0}^{m-1}\frac{M_1}{4}{h}^2\stackrel{(3)}{=}\frac{M_1}{4}h\sum _{i=0}^{m-1}h\stackrel{(4)}{=}\frac{M_1}{4}\cdot \frac{b-a}{m}\cdot (b-a)\stackrel{(5)}{=}\frac{M_1(b-a{)}^2}{4m}$$

• 2 - оценка погрешности формулы средних прямоугольников
• 4 - расписали $h$ по определению в формуле

Таким образом погрешность составной формулы средних прямоугольников не превосходит:

$$|R_m[f]|\le \frac{M_1(b-a{)}^2}{4m}$$

Cходится к 0 с ростом m. Следовательно квадратурный процесс для формулы также cходится