Пример жесткой системы

Рассмотрим задачу Коши, являющейся жесткой системой

$y^{\prime }=-\alpha y,x\in [0,X]$

$y(0)=1$

$\alpha \gg 1$

Точное решение задачи:

$$y(x)=e^{-\alpha x}>0\forall x\in [0,X]$$

Явный метод Эйлера

Решим задачу численно, применив явный метод Эйлера. Для конкретной задачи получим формулу:

$$y_{m+1}=(1-\alpha h)y_m$$

$m=0,1,\dots ,n-1$

Решение задачи, полученное явным методом Эйлера, не сохраняет такое важное свойство ее точного решения, как положительность, если $h>\frac{2}{\alpha }$. Таким образом, допустимые значения $h$ в должны удовлетворять неравенству:

$$h<\frac{2}{\alpha }$$

разностное уравнение устойчиво только при $h\le \frac{2}{\alpha }$ (условие $|1-h\alpha |\le 1$ (критерий)). Однако малый шаг ведет к накоплению вычислительной погрешности, и метод как с большими, так и с малыми шагами $h$ может давать очень неточные результаты

В данном примере эту проблему можно решить с помощью переменного шага $h$: малого на почти вертикальном участке и большого на почти горизонтальном участке. Но если решается система уравнений, то переменный шаг $h$ не поможет

Неявный метод Эйлера

Решим задачу численно, применив неявный метод Эйлера. Для конкретной задачи получим формулу:

$$y_{m+1}=y_m-h\alpha y_{m+1}$$

Которую очевидным образом можно преобразовать к явной:

$$y_{m+1}=\frac{1}{1+h\alpha }{y}_m,m=0,1,\dots ,n-1$$

Приближенное решение задачи, полученное неявным методом Эйлера (9.61), сохраняет свойство положительности ее точного решения при любом шаге $h>0$

Разностное уравнение устойчиво, так как корень $\rho =\frac{1}{1+h\alpha }$ его характеристического уравнения удовлетворяет условию $0<\rho <1$ при любом шаге $h>0$ (критерий)

Задачу можно решать неявным методом Эйлера с любым шагом $h>0$