Свойство. Квадратурные коэффициенты квадратурной формулы Гаусса положительны

Квадратурные коэффициенты $A_k$ ($k=0,1,2,\dots ,n$) квадратурной формулы Гаусса положительны

Доказательство

Идея подставлять в формулу серию из $n$ удачно сформированных многочленов, которые, после вычисления формулы дадут коэффициенты

Пусть

$$Q_{2n}^{(k)}(x)={\left(\prod _{\begin{array}{c}i=0\\ i\ne k\end{array}}^n\frac{x-x_i}{x_k-x_i}\right)}^2,k=0,1,2,\dots ,n.$$

Очевидно, по построению, $\forall x\in [a,b]$ $Q_{2n}^{(k)}(x)\ge 0$ (квадрат) и

$$Q_{2n}^{(k)}(x_j)={\delta }_{jk}=\{\begin{array}{ll}0,& j\ne k\\ 1,& j=k\end{array}\forall j=0,1,2,\dots ,n.$$

При этом, поскольку весовая функция $p$ удовлетворяет критерию (по построению формулы), то

$$I[Q_{2n}^{(k)}]={\int }_a^{b}p(x)Q_{2n}^{(k)}(x)dx>0$$

Подробнее, почему возникает неравенство тут

Для всех многочленов $Q_{2n}^{(k)}(x)$ ($k=0,1,2,\dots ,n$) квадратурная

формула Гаусса точна. Следовательно, $\forall k=0,1,2,\dots ,n$:

$$I[Q_{2n}^{(k)}]={\int }_a^{b}p(x)Q_{2n}^{(k)}(x)dx=\sum _{j=0}^n{A}_j{Q}_{2n}^{(k)}(x_j)=A_k>0$$