Теорема. О том, что простые корни многочлена ортогонального всем многочленам степени с весом лежат в отрезке интегрирования

Вводная

В теореме доказали существование квадратурных узлов, чтобы применить критерий, построив многочлен, корни которого являются искомыми узлами. Однако теорема не гарантирует, что корни найденного многочлена лежат в отрезке интегрирования решаемой задачи. Покажем, что корни удовлетворяют постановке задачи и лежат в отрезке интегрирования $[a,b]$

Пусть

Найден многочлен $G_{n+1}(x)=x^{n+1}+a_1{x}^n+a_2{x}^{n-1}+\cdots +a_{n-1}{x}^2+a_{n}x+a_{n+1}$, применив теорему

Тогда

Многочлен $G_{n+1}$ имеет на отрезке $[a,b]$ простых корней

Доказательство

Принадлежность $[a,b]$

От противного.

Пусть отрезку $[a,b]$ принадлежат $s+1$ корней $x_0,x_1,x_2,\dots ,x_s$ ($s<n$) многочлена $G_{n+1}$.

Этот многочлен можно представить в виде

$$G_{n+1}=D_{s+1}{R}_{n-s}$$

где $D_{s+1}(x)=(x-x_0)(x-x_1)\cdots (x-x_s)$

Поскольку многочлен $G_{n+1}$ ортогонален с весом $p$ любому

многочлену $Q_n(x)$, а $(s+1)\le n$, то, с одной стороны,

$${\int }_a^{b}p(x)G_{n+1}(x)D_{s+1}(x)dx=0.$$

С другой стороны,

$${\int }_a^{b}p(x)G_{n+1}(x)D_{s+1}(x)dx={\int }_a^{b}p(x)(D_{s+1}(x){)}^2{R}_{n-s}(x)dx>0,$$

Неравенство строго больше 0 поскольку:

1. $p(x)\ge 0\forall x\in [a,b]$ (по построению $G_{n+1}$)
2. ${\int }_a^{b}p(x)dx>0$ (по построению $G_{n+1}$)
3. $(D_{s+1}(x){)}^2\ge 0\forall x\in [a,b]$
4. многочлен $R_{n-s}(x)$ на отрезке $[a,b]$ корней не имеет и, следовательно, без ограничения общности, $R_{n-s}(x)>0$

Возникает противоречие с тем, что $G_{n+1}$ ортогонален всем многочленам с весом степени $n+1$ и ниже

Простота корней

От противного. Пусть у многочлена $G_{n+1}(x)$ существует кратный

корень $x_s$ ($0\le s\le n$). Тогда $G_{n+1}(x)$ можно представить в виде

$$G_{n+1}(x)=(x-x_s{)}^2{R}_{n-1}(x).$$

Так как многочлен $G_{n+1}(x)$ ортогонален с весом $p$ любому многочлену $Q_n(x)$, то, с одной стороны,

$${\int }_a^{b}p(x)G_{n+1}(x)R_{n-1}(x)dx=0.$$

С другой стороны,

$${\int }_a^{b}p(x)G_{n+1}(x)R_{n-1}(x)dx={\int }_a^{b}p(x)(x-x_s{)}^2{R}_{n-1}^2(x)dx={\int }_a^{b}p(x)((x-x_s)R_{n-1}(x){)}^{2}dx={\int }_a^{b}p(x)G_{n+1}^2(x)dx>0$$

Неравенство строго больше 0 поскольку:

1. $p(x)\ge 0\forall x\in [a,b]$ (по построению $G_{n+1}$)
2. ${\int }_a^{b}p(x)dx>0$ (по построению $G_{n+1}$)
3. $(G_{n+1}(x){)}^2\ge 0\forall x\in [a,b]$

Возникает противоречие с тем, что $G_{n+1}$ ортогонален всем многочленам с весом степени $n+1$ и ниже

Опечатка

можно проще доказать пустоту корней (там квадрат $G_{n+1}$)