Теорема. Критерий сходимости интерполяционного квадратурного процесса

Интерполяционный квадратурный процесс $\{S_n[f]{\}}_{n=0}^{\infty }$ сходится, $S_n[f]={\sum }_{k=0}^n{A}_k^{(n)}f(x_k^{(n)})$ $\iff$

$$\exists M>0:\forall n\ge 0\Rightarrow \sum _{k=0}^n\left|A_k^{(n)}\right|\le M$$

Существует Число $M$ такое, что для любого $n$ сумма абсолютных значений квадратурных коэффициентов у соответсвующей $n$-ой суммы не превосходит $M$

Тут важно, что сходимость не зависит от самой функции $f$, только от выбора квадратурных коэффициентов (в квадратурных формулах они не зависят от $f$ по определению)

Доказательство

Необходимость

Доказывается здесь(Березин, Жидков. “Методы вычислений”, 1962)

Достаточность

Пусть

$$\exists M>0:\forall n\ge 0\Rightarrow \sum _{k=0}^n\left|A_k^{(n)}\right|\le M$$

Покажем сходимость:

$$\exists \underset{n\to \infty }{\lim }{S}_n[f]=I[f]$$

Полагаем, что суммы построены для непрерывной функции: $f\in C([a,b])$

Поскольку пространство многочленов плотно в пространстве непрерывных функций, то

$$\forall \epsilon >0\exists Q_{m(\epsilon )}:\underset{x\in [a,b]}{\max }|f(x)-Q_{m(\epsilon )}(x)|<\epsilon$$

Так как формула $I[f]\approx S_n[f]$ является интерполяционной для всех $n\ge 0$, то в силу критерия интерполяционности эта формула будет точна для

многочлена $Q_{m(\epsilon )}$ для любого $n\ge m(\epsilon )$, то есть

$$I[Q_{m(\epsilon )}]=S_n[Q_{m(\epsilon )}]\forall n\ge m(\epsilon )$$

Следовательно, учитывая линейность определенного интеграла и квадратурной суммы, $\forall n\ge m(\epsilon )$ справедливо равенство:

$$I[f]-S_n[f]=(I[f]-I[Q_{m(\epsilon )}])-(S_n[f]-S_n[Q_{m(\epsilon )}])=I[f-Q_{m(\epsilon )}]-S_n[f-Q_{m(\epsilon )}]$$

Справедлива оценка: