Тервер ДЗ 2025-02-20

1.5

Закон распределения

Возможные значения X и Y - 0, 1, 2. Посчитаем вероятности каждой парочки

X\Y	0	1	2
0	$\frac{1}{4}$ На первом кубике выпало четное число - вероятность 3/6 и на втором кубке тоже выполо нечетное число - вероятность - 3/6	$\frac{1}{3}$ 2 независимых случая. Первый случай - на первом кубике нечетная не пятерка - 2 благоприятных исхода из 6, на втором с необходимостью четное очко - 3 благоприятных случая из 6. Второй случай зеркальный	$\frac{1}{9}$ На первом кубике нечетная не пятерка - 2 благоприятных исхода из 6. На втором также
1	0 (выпала 1 нечетная пятерка, при этом 0 нечетных очков)	$\frac{1}{6}$ рассуждения аналогичны	$\frac{1}{9}$
2	0 выпало 2 нечетных пятерки, при этом 0 нечетных очков	0 выпало 2 нечетных пятерки, при этом 0 нечетных очков	$\frac{1}{36}$

Обязательно сделать проверку на нормированность (сумма чисел в таблице дает 1)

Корреляционная матрица

Достроим таблицу для нахождения законов распределения X и Y c целью найти их числовые характеристики

$X$\$Y$	0	1	2	$\sum \to$
0	$\frac{1}{4}$	$\frac{1}{3}$	$\frac{1}{9}$	$\frac{25}{36}$
1	0	$\frac{1}{6}$	$\frac{1}{9}$	$\frac{5}{18}$
2	0	0	$\frac{1}{36}$	$\frac{1}{36}$
$\sum \downarrow$	$\frac{1}{4}$	$\frac{1}{2}$	$\frac{1}{4}$

Получаем законы распределения составляющих:

$X$	0	1	2
$p$	$\frac{25}{36}$	$\frac{5}{18}$	$\frac{1}{36}$

$Y$	0	1	2
$p$	$\frac{1}{4}$	$\frac{1}{2}$	$\frac{1}{4}$

Их матожидания:

$M[X]=\frac{1}{3}$

$M[Y]=1$

Для вычисления дисперсии по сокращенной формуле, требуется закон распределения для квадратов компонент:

$X$	0	1	4
$p$	$\frac{25}{36}$	$\frac{5}{18}$	$\frac{1}{36}$

$Y$	0	1	4
$p$	$\frac{1}{4}$	$\frac{1}{2}$	$\frac{1}{4}$

матожидания:

$M[X^2]=\frac{7}{18}$

$M[Y^2]=\frac{3}{2}$

дисперсии

$D[X]=M[X^2]-M^2[X]=\frac{5}{18}$

$D[Y]=M[Y^2]-M^2[Y]=\frac{1}{2}$

стандартные отклонения

${\sigma }_x=\sqrt{D[X]}\approx 0.5270$

${\sigma }_y=\sqrt{D[y]}\approx 0.7071$

Модифицируем таблицу для нахождения ковариации, уменьшив на соответствующие матожидания первую строку и первый столбец

$X$\$Y$	-1	0	1
$-\frac{1}{3}$	$\frac{1}{4}$	$\frac{1}{3}$	$\frac{1}{9}$
$\frac{2}{3}$	0	$\frac{1}{6}$	$\frac{1}{9}$
$\frac{5}{3}$	0	0	$\frac{1}{36}$

Тогда ковариация из формулы теоремы вычисляется как сумма произведений случайных величин на вероятность их наступления:

$K_{xy}=\frac{1}{6}$

Запишем матрицу:

$$\left(\begin{array}{cc}\frac{5}{18}& \frac{1}{6}\\ \frac{1}{6}& \frac{1}{2}\end{array}\right)$$

Коэффициент корреляции случайных величин

вычислим по определению $r_{xy}=\frac{K_{xy}}{{\sigma }_x{\sigma }_y}\approx 0.4472$

Связанные определения/теоремы/следствия/утверждения:

• Дисперсия случайной величины
• Сокращенная формула дисперсии
• Свойства ковариации

1.8

Так как $X$ и $Y$ - независимы, таблица распределения заполняется просто (перемножаем соответствующие вероятности?)

Закон распределения

$X$\$Y$	-1	0	1
0	0.06	0.1	0.04
1	0.21	0.35	0.14
2	0.03	0.05	0.02

Обязательно сделать проверку на нормированность (сумма чисел в таблице дает 1)

Функция распределения случайной величины

Суммируем вероятности тех точек, которые попали в рассматриваемый бесконечный прямоугольник

$X$\$Y$	$y\le -1$	$-1<y\le 0$	$0<y\le 1$	$1<y$
$x\le 0$	0	0	0	0
$0<x\le 1$	0	0.06	0.16	0.2
$1<x\le 2$	0	0.27	0.72	0.9
$2\le x$	0	0.3	0.8	1