Постановка задачи численного интегрирования

Постановка

Требуется найти ${\int }_a^{b}f(x)dx$

Идея решения

Представляем $f$ в виде интерполяционного многочлена Лагранжа, построенного по $x_i,i=0,\dots ,n$ ($n+1$ узлу) и остатка:

$$f=L_n+R_n$$

Тогда полагаем, что

$${\int }_a^{b}f(x)dx\stackrel{def}{=}I[f]\approx L_n(x)dx$$

При этом погрешность такого способа вычисления интеграла тогда будет равна (в силу линейности интеграла):

$${\int }_a^b{R}_n(x)dx\stackrel{def}{=}{R}_n[f]={\int }_a^{b}f(x,x_0,x_1,\dots ,x_n)w_n(x)dx$$

где:

• $f(x,x_1,\dots ,x_n)$ - разделенная разность $n$-го порядка функции $f$
• $w_n(x)=(x-x_0)(x-x_1)\dots (x-x_n)$