Свойство. Квадратурная формула Гаусса, построенная по n+1-ому узлу имеет алгебраическую степень точности 2n+1

Квадратурная формула Гаусса, построенная по $(n+1)$-ому узлу имеет алгебраическую степень точности $N=2n+1$

Доказательство

Покажем, что найдется многочлен степени $2n+2$ (на одну больше), для которого построенная формула не будет точна

Возьмем $Q_{2n+2}={\omega }_n^2$ Поскольку весовая функция $p$ удовлетворяет условиям критерия (по построению формулы Гаусса), то

$$I[Q_{2n+2}]={\int }_a^{b}p(x)({\omega }_n(x){)}^{2}dx>0$$

Подробнее, почему так здесь

При этом по построению ${\omega }_n$:

$$S_n[Q_{2n+2}]=\sum _{k=0}^n{\bar{A}}_k({\omega }_n({\bar{x}}_k){)}^2=0,$$

так как ${\omega }_n({\bar{x}}_k)=0$ для всех узлов ${\bar{x}}_k$.

Таким образом,

$$I[Q_{2n+2}]\ne S_n[Q_{2n+2}].$$

То есть формула Гаусса неточна для многочлена степени $2n+2$