Свойство. Наивысшая алгебраическая степень точности квадратурной формулы с весом, построенной по n+1 узлу, равна 2n+1

Наивысшая алгебраическая степень точности квадратурной формулы с весом, построенной по n+1 узлу, равна $2n+1$

Доказательство

Пусть существует такая квадратурная формула у которой алгебраическая степперь точности $N>2n+1$. Тогда, в силу критерия, многочлен ${\omega }_n(x)$ должен удовлетворять условию ортогональности с весом $p$ любому многочлену $Q_n(x)$.

Согласно теореме указанному условию удовлетворяет единственный многочлен

$$G_{n+1}(x)=x^{n+1}+a_1{x}^n+a_2{x}^{n-1}+\cdots +a_{n-1}{x}^2+a_{n}x+a_{n+1}.$$

Согласно теореме многочлен имеет единственный набор простых корней, входящих в отрезок интегрирования $[a,b]$:

$$x_0,x_1,x_2,\dots ,x_n\in [a,b]:x_i\ne x_j\forall i\ne j,$$

которые являются узлами квадратурной формулы. Её коэффициенты $A_k$ ($k=0,1,2,\dots ,n$) вычисляются по формулам единственным образом.

Получення квадратурная формула совпадает с квадратурной формулой Гаусса (по сути провели численную процедуру), у которой, согласно теореме, $N=2n+1$