Теорема. О существовании многочлена ортогонального всем многочленам степени n с весом

Вводная

критерий утверждает, что если ограничение на скалярные произведения у $n$ узлов выполняется, то алгебраическая степень точности у построенной формулы будет не меньше чем $2n+1$. Однако в критерии не доказывается, что узлы с наложенными ограничениями вообще найдутся. Покажем, что такие узлы существуют и найдем их

---

Чтобы узлы удовлетворялчи ограничению критерия (ортогональность $w_n$ любому многочлену степени $n$ и ниже c весом $p$)

$${\int }_a^{b}p(x)Q_n(x){\omega }_n(x)dx=0\forall Q_n(x)$$

${\omega }_n(x)=(x-x_0)(x-x_1)\cdots (x-x_n)$

Необходимо, чтобы узлы были корнями $w_n$. То есть необходимо доказать существование соответсвующего многочлена

В общем виде $w_n$ может быть переписан как:

$$G_{n+1}(x)=x^{n+1}+a_1{x}^n+a_2{x}^{n-1}+\cdots +a_{n-1}{x}^2+a_{n}x+a_{n+1}=\sum _{i=1}^{n+1}{a}_i{x}^{n+1-i}$$

$a_i\in \mathbb{R},i=1,2,\dots ,n+1$

Для того, чтобы многочлен $G_{n+1}$ был ортогонален с весом $p$ любому многочлену $Q_m(x)$ ($m\le n$), необходимо и достаточно, чтобы

$${\int }_a^{b}p(x)G_{n+1}(x)x^{m}dx=0\forall m=0,1,2,\dots ,n$$

Равенства выше образуют неоднородную систему, содержащую $(n+1)$ линейное алгебраическое уравнение относительно неизвестных $a_i\in \mathbb{R}$ ($i=1,2,\dots ,n+1$):

$$0={\int }_a^{b}p(x)G_{n+1}(x)x^{m}dx$$ $$={\int }_a^{b}p(x)(x^{n+1}+\sum _{i=1}^{n+1}{a}_i{x}^{n+1-i})x^{m}dx$$ $$={\int }_a^{b}p(x)x^{n+m+1}dx+\sum _{i=1}^{n+1}{a}_i{\int }_a^{b}p(x)x^{n+1-i}{x}^{m}dx$$ $$={\int }_a^{b}p(x)x^{n+m+1}dx+\sum _{i=1}^{n+1}{a}_i{\int }_a^{b}p(x)x^{n+m+1-i}dx.$$

В итоге получаем систему относительно $a_i,i=1,\dots ,n+1$:

$${\int }_a^{b}p(x)\left(a_1{x}^n+a_2{x}^{n-1}+\cdots +a_{n-1}{x}^2+a_{n}x+a_{n+1}\right)x^{m}dx=-{\int }_a^{b}p(x)x^{n+m+1}dx$$

$m=0,1,\dots ,n$

Из условия исходной задачи известны значения интегралов с весами

Неоднородная система имеет единственное решение $\iff$ соответсвующая системе однородная система имеет лишь тривиальное решение (что-то из алгема)

$${\int }_a^{b}p(x)\left(a_1{x}^n+a_2{x}^{n-1}+\cdots +a_{n-1}{x}^2+a_{n}x+a_{n+1}\right)x^{m}dx=0$$

Достаточными условиями того, что рассматриваемая однородная система имеет лишь тривиальное решение являются следующие ограничения на $p$:

1. $p(x)\ge 0\forall x\in [a,b]$
2. ${\int }_a^{b}p(x)dx>0$

Справедливость этого может быть доказана методом от противного.

Если предположить, что рассматриваемая однородная система имеет нетривиальное решение $({\bar{a}}_1,{\bar{a}}_2,\dots ,{\bar{a}}_{n+1})\ne 0$, то суммирование

равенств (идею взяли из воздуха)

$${\bar{a}}_{n-m+1}{\int }_a^{b}p(x)\left({\bar{a}}_1{x}^n+{\bar{a}}_2{x}^{n-1}+\cdots +{\bar{a}}_{n-1}{x}^2+{\bar{a}}_{n}x+{\bar{a}}_{n+1}\right)x^{m}dx=0$$

$\forall m=0,1,2,\dots ,n$

приводит к выражению:

$${\int }_a^{b}p(x)({\bar{a}}_1{x}^n+{\bar{a}}_2{x}^{n-1}+\cdots +{\bar{a}}_{n-1}{x}^2+{\bar{a}}_{n}x+{\bar{a}}_{n+1}{)}^{2}dx=0$$

Которое противоречит ограничениям на $p$

Формулировка

Таким образом, при наложении дополнительных условий на весовую функцию $p$ можно отыскать необходимые узлы, чтобы воспользоваться критерием:

Пусть

При решении задачи интегрирования функции с весом на весовую функцию наложены дополнительные ограничения

1. $p(x)\ge 0\forall x\in [a,b]$
2. ${\int }_a^{b}p(x)dx>0$
3. $\exists {\int }_a^{b}p(x)x^{k}dx\forall k=0,1,2,\dots ,2n+1$

Тогда

Существует единственный многочлен

$$G_{n+1}(x)=x^{n+1}+a_1{x}^n+a_2{x}^{n-1}+\cdots +a_{n-1}{x}^2+a_{n}x+a_{n+1},$$

который ортогонален с весом $p$ любому многочлену $Q_n(x)$

Доказательство

смотри выше