Пусть

Функции $f$ и $p$ ограничены на отрезке $[a, b] \subseteq D [f] \cap D [p]$ .
Интегралы $\int_{a}^{b} p (x) x^{m} d x$ вычисляются аналитически, $m = 0, 1, 2, \dots$ .
Даны узлы:

x_{0}, x_{1}, x_{2}, \dots, x_{n} \in [a, b] : x_{i} \neq = x_{j} \forall i \neq = j

y_{0}, y_{1}, y_{2}, \dots, y_{n} : y_{i} = f (x_{i}) \forall i = 0, 1, \dots, n

Требуется

Найти интеграл:

I [f] = \int_{a}^{b} p (x) f (x) d x

Разложить функцию в сумму ее интерполяционного многочлена Лагранжа(необязательно его) и погрешности $f (x) = L_{n} (x) + R_{n} (x)$
Взять интеграл, сделав замену $f$ . Воспользоваться линейностью интеграла $I [f] = \int_{a}^{b} p (x) L_{n} (x) d x + \int_{a}^{b} p (x) R_{n} (x) d x$
Пренебречь вторым интегралом с погрешностью. Положить, что примерно интеграл $f$ равен первому интегралу $I [f] \approx \int_{a}^{b} p (x) L_{n} (x) d x = d e f S_{n} [f]$