Устойчивость разностных методов. Нуль-устойчивость разностного метода. А-устойчивость разностного метода. Понятие жестких систем

Неустойчивость k-шаговых разностных методов

• Пример неустойчивости метода
• Расходимость k-шагового разностного метода
• Неустойчивость k-шагового разностного метода по начальным условиям

Разностные уравнения

Определение

• Линейное однородное разностное уравнение k-го порядка с постоянными коэффициентами
• Линейное неоднородное разностное уравнение k-го порядка с постоянными коэффициентами

Свойства

• Свойство. Линейное однородное разностное уравнение k-го порядка с постоянными коэффициентами имеет тривиальное решение
• Свойство. Линейная комбинация решений линейного однородного разностного уравнения является решением уравнения
• Свойство. Структура общего решения линейного однородного разностного уравнения

Поиск общего решения

• Поиск фундаментальной системы решений линейного однородного уравнения k-го порядка с постоянными коэффициентами
• Характеристическое уравнение линейного однородного разностного уравнения k-го порядка с постоянными коэффициентами
• Поиск решения линейного однородного разностного уравнения по характеристическому уравнению
• Поиск решения линейного неоднородного разностного уравнения k-го порядка с постоянными коэффициентами

Устойчивость уравнения

• Устойчивость тривиального решения линейного однородного уравнения с постоянными коэффициентами
• Теорема. Критерий устойчивости тривиального решения линейного однородного уравнения с постоянными коэффициентами

0-устойчивость k-шаговых разностных методов

• 0-устойчивость k-шагового разностного метода

Примеры

• Пример не 0-устойчивого k-шагового разностного метода
• Пример 0-устойчивого k-шагового разностного метода

Теоремы

• Теорема. Аппроксимация + устойчивость = сходимость

Жесткие системы

• Жесткая система
• Пример жесткой системы
• Система первого приближения
• А-устойчивость