Постановка задачи Коши для дифференциального уравнения 1 порядка

Дано

дифференцильное уравнение первого порядка

$$y^{\prime }=f(x,y)$$

• На отрезке $[x_0,x_0+X],X\ge x_0$ - область решения задачи
• $f$
  • Непрерывна по каждому своему аргументу
  • Имеет непрерывную частную производную $f_y^{\prime }$

Причем известно, что (начальные условия)

$$y(x_0)=y_0$$

Требуется

Отыскать решение дифференциального уравнения, с учетом начальных условий - предоставить набор $n$ пар

$$(x_i,y_i),i=0,\dots (n-1),x_i\in [x_0,x_0+X],x_{i+1}=x_i+h_i,y_i\approx y(x_i)$$

$h_i>0\forall i=0,\dots ,(n-1)$

• $x_i,i=0,\dots (n-1)$ назовем узлами
• $y_i,i=0,\dots (n-1)$ назовем приближенными значениями решения в узле $x_i$

Такой набор пар также называется сеточной функцией

Почти всегда при рассмотрении методов $h_i,i=0,\dots ,n-1$ равны между собой. Если не говорится обратное, полагать, что так оно и есть и считать $\forall i=0,\dots ,n-1h_i=h=\frac{b-a}{n}$